미적분 예제

$\frac{\cos (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

단계 1

$\frac{\cos (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = \frac{\cos (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

단계 2

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 3

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int \frac{\cos (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}} d x$

단계 4

먼저 $u = 2 + \sin (x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \cos (x) d x$ 이므로 $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$u = 2 + \sin (x)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 4.1.1

$2 + \sin (x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 + \sin (x)]$

단계 4.1.2

미분합니다.

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단계 4.1.2.1

합의 법칙에 의해 $2 + \sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

단계 4.1.2.2

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

단계 4.1.3

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$0 + \cos (x)$

단계 4.1.4

$0$ 를 $\cos (x)$ 에 더합니다.

$\cos (x)$

단계 4.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{u^{2}} d u$

단계 5

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 5.1

$u^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\int {(u^{2})}^{- 1} d u$

단계 5.2

${(u^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 5.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int u^{2 \cdot - 1} d u$

단계 5.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int u^{- 2} d u$

단계 6

멱의 법칙에 의해 $u^{- 2}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $- u^{- 1}$ 가 됩니다.

$- u^{- 1} + C$

단계 7

$- u^{- 1} + C$ 을 $- \frac{1}{u} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{1}{u} + C$

단계 8

$u$ 를 모두 $2 + \sin (x)$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{2 + \sin (x)} + C$

단계 9

답은 함수 $f (x) = \frac{\cos (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $- \frac{1}{2 + \sin (x)} + C$