미적분 예제

$lim_{x \to - \infty} 3 x e^{x}$

단계 1

$3$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$3 lim_{x \to - \infty} x e^{x}$

단계 2

$x e^{x}$ 을 $\frac{x}{e^{- x}}$ 로 바꿔 씁니다.

$3 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{e^{- x}}$

단계 3

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 3.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 3.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$3 \frac{lim_{x \to - \infty} x}{lim_{x \to - \infty} e^{- x}}$

단계 3.1.2

최고차항이 양수인 홀수 차수의 다항식에 대한 음의 무한대에서의 극한값은 음의 무한대입니다.

$3 \frac{- \infty}{lim_{x \to - \infty} e^{- x}}$

단계 3.1.3

지수 $- x$ 이 $\infty$ 에 가까워지기 때문에 수량 $e^{- x}$ 가 $\infty$ 에 가까워집니다.

$3 \frac{- \infty}{\infty}$

단계 3.1.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$3 \frac{- \infty}{\infty}$

단계 3.2

$\frac{- \infty}{\infty}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{e^{- x}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

단계 3.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 3.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$3 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

단계 3.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

단계 3.3.3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- x$ 로 바꿉니다.

$3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]}$

단계 3.3.3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [- x]}$

단계 3.3.3.3

$u$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]}$

단계 3.3.4

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} \cdot - 1 \frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} \cdot - 1 \cdot 1}$

단계 3.3.6

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} \cdot - 1}$

단계 3.3.7

$e^{- x}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- 1 \cdot e^{- x}}$

단계 3.3.8

$- 1 e^{- x}$ 을 $- e^{- x}$ 로 바꿔 씁니다.

$3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- e^{- x}}$

단계 3.4

$1$ 및 $- 1$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.4.1

$1$ 을 $- 1 (- 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$3 lim_{x \to - \infty} \frac{- 1 (- 1)}{- e^{- x}}$

단계 3.4.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$3 lim_{x \to - \infty} - \frac{1}{e^{- x}}$

단계 4

$- 1$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$3 \cdot - 1 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x}}$

단계 5

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{e^{- x}}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$3 \cdot - 1 \cdot 0$

단계 6

0을 곱합니다.

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단계 6.1

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$3 \cdot 0$

단계 6.2

$3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0$