미적분 예제

$\int x^{3} \sqrt{4 + x^{2}} d x$

단계 1

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 일 때 $x = 2 \tan (t)$ 라고 하면 $d x = 2 \sec^{2} (t) d t$ 입니다. $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 이므로 $2 \sec^{2} (t)$ 는 양수입니다.

$\int {(2 \tan (t))}^{3} \sqrt{4 + {(2 \tan (t))}^{2}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

단계 2

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$\sqrt{4 + {(2 \tan (t))}^{2}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.1

$2 \tan (t)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\int {(2 \tan (t))}^{3} \sqrt{4 + 2^{2} \tan^{2} (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

단계 2.1.1.2

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\int {(2 \tan (t))}^{3} \sqrt{4 + 4 \tan^{2} (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

단계 2.1.2

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\int {(2 \tan (t))}^{3} \sqrt{4 (1) + 4 \tan^{2} (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

단계 2.1.3

$4 \tan^{2} (t)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\int {(2 \tan (t))}^{3} \sqrt{4 (1) + 4 (\tan^{2} (t))} (2 \sec^{2} (t)) d t$

단계 2.1.4

$4 (1) + 4 (\tan^{2} (t))$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\int {(2 \tan (t))}^{3} \sqrt{4 (1 + \tan^{2} (t))} (2 \sec^{2} (t)) d t$

단계 2.1.5

항을 다시 배열합니다.

$\int {(2 \tan (t))}^{3} \sqrt{4 (\tan^{2} (t) + 1)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

단계 2.1.6

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\int {(2 \tan (t))}^{3} \sqrt{4 \sec^{2} (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

단계 2.1.7

$4 \sec^{2} (t)$ 을 ${(2 \sec (t))}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int {(2 \tan (t))}^{3} \sqrt{{(2 \sec (t))}^{2}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

단계 2.1.8

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\int {(2 \tan (t))}^{3} (2 \sec (t)) (2 \sec^{2} (t)) d t$

단계 2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$2 \tan (t)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\int {(2 (\tan (t)))}^{3} (2 \sec (t)) (2 \sec^{2} (t)) d t$

단계 2.2.2

$2 (\tan (t))$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\int 2^{3} \tan^{3} (t) (2 \sec (t)) (2 \sec^{2} (t)) d t$

단계 2.2.3

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$\int 8 \tan^{3} (t) (2 \sec (t)) (2 \sec^{2} (t)) d t$

단계 2.2.4

$2$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$\int 16 \tan^{3} (t) \sec (t) (2 \sec^{2} (t)) d t$

단계 2.2.5

$2$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$\int 32 \tan^{3} (t) \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

단계 2.2.6

지수를 더하여 $\sec (t)$ 에 $\sec^{2} (t)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.6.1

$\sec^{2} (t)$ 를 옮깁니다.

$\int 32 \tan^{3} (t) (\sec^{2} (t) \sec (t)) d t$

단계 2.2.6.2

$\sec^{2} (t)$ 에 $\sec (t)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.6.2.1

$\sec (t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int 32 \tan^{3} (t) (\sec^{2} (t) \sec^{1} (t)) d t$

단계 2.2.6.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int 32 \tan^{3} (t) {\sec (t)}^{2 + 1} d t$

단계 2.2.6.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\int 32 \tan^{3} (t) \sec^{3} (t) d t$

단계 3

$32$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $32$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$32 \int \tan^{3} (t) \sec^{3} (t) d t$

단계 4

$\tan^{2} (t)$ 로 인수분해합니다.

$32 \int \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{3} (t) d t$

단계 5

피타고라스 항등식을 이용하여 $\tan^{2} (t)$ 를 $- 1 + \sec^{2} (t)$ 로 바꿔 씁니다.

$32 \int (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{3} (t) d t$

단계 6

먼저 $u = \sec (t)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ 이므로 $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$u = \sec (t)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d t}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

$\sec (t)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

단계 6.1.2

$\sec (t)$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\sec (t) \tan (t)$ 입니다.

$\sec (t) \tan (t)$

단계 6.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$32 \int (- 1 + u^{2}) u^{2} d u$

단계 7

$(- 1 + u^{2}) u^{2}$ 을 곱합니다.

$32 \int - 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

단계 8

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$- 1 u^{2}$ 을 $- u^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$32 \int - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

단계 8.2

지수를 더하여 $u^{2}$ 에 $u^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$32 \int - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

단계 8.2.2

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$32 \int - u^{2} + u^{4} d u$

단계 9

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$32 (\int - u^{2} d u + \int u^{4} d u)$

단계 10

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$32 (- \int u^{2} d u + \int u^{4} d u)$

단계 11

멱의 법칙에 의해 $u^{2}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} u^{3}$ 가 됩니다.

$32 (- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int u^{4} d u)$

단계 12

멱의 법칙에 의해 $u^{4}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{5} u^{5}$ 가 됩니다.

$32 (- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

단계 13

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.1

$\frac{1}{3}$ 와 $u^{3}$ 을 묶습니다.

$32 (- (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

단계 13.1.2

$\frac{1}{5}$ 와 $u^{5}$ 을 묶습니다.

$32 (- (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{u^{5}}{5} + C)$

단계 13.2

간단히 합니다.

$32 (- \frac{1}{3} u^{3} + \frac{1}{5} u^{5}) + C$

단계 14

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

$u$ 를 모두 $\sec (t)$ 로 바꿉니다.

$32 (- \frac{1}{3} \sec^{3} (t) + \frac{1}{5} \sec^{5} (t)) + C$

단계 14.2

$t$ 를 모두 $\arctan (\frac{x}{2})$ 로 바꿉니다.

$32 (- \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2})) + \frac{1}{5} \sec^{5} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

단계 15

항을 다시 정렬합니다.

$32 (- \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{1}{2} x)) + \frac{1}{5} \sec^{5} (\arctan (\frac{1}{2} x))) + C$