미적분 예제

$y^{x y}$

단계 1

로그 성질을 사용하여 미분을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$y^{x y}$ 을 $e^{\ln (y^{x y})}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d y} [e^{\ln (y^{x y})}]$

단계 1.2

$x y$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (y^{x y})$ 을 전개합니다.

$\frac{d}{d y} [e^{x y \ln (y)}]$

단계 2

$f (y) = e^{y}$ , $g (y) = x y \ln (y)$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 는 $f' (g (y)) g' (y)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x y \ln (y)$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x y \ln (y)]$

단계 2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u} \frac{d}{d y} [x y \ln (y)]$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $x y \ln (y)$ 로 바꿉니다.

$e^{x y \ln (y)} \frac{d}{d y} [x y \ln (y)]$

단계 3

$x$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $x y \ln (y)$ 의 미분은 $x \frac{d}{d y} [y \ln (y)]$ 입니다.

$e^{x y \ln (y)} (x \frac{d}{d y} [y \ln (y)])$

단계 4

$f (y) = y$ , $g (y) = \ln (y)$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 는 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{x y \ln (y)} (x (y \frac{d}{d y} [\ln (y)] + \ln (y) \frac{d}{d y} [y]))$

단계 5

$\ln (y)$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{y}$ 입니다.

$e^{x y \ln (y)} (x (y \frac{1}{y} + \ln (y) \frac{d}{d y} [y]))$

단계 6

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$y$ 와 $\frac{1}{y}$ 을 묶습니다.

$e^{x y \ln (y)} (x (\frac{y}{y} + \ln (y) \frac{d}{d y} [y]))$

단계 6.2

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

공약수로 약분합니다.

$e^{x y \ln (y)} (x (\frac{y}{y} + \ln (y) \frac{d}{d y} [y]))$

단계 6.2.2

수식을 다시 씁니다.

$e^{x y \ln (y)} (x (1 + \ln (y) \frac{d}{d y} [y]))$

단계 6.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{x y \ln (y)} (x (1 + \ln (y) \cdot 1))$

단계 6.4

$\ln (y)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{x y \ln (y)} (x (1 + \ln (y)))$

단계 7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$e^{x y \ln (y)} (x \cdot 1 + x \ln (y))$

단계 7.2

분배 법칙을 적용합니다.

$e^{x y \ln (y)} (x \cdot 1) + e^{x y \ln (y)} (x \ln (y))$

단계 7.3

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{x y \ln (y)} x + e^{x y \ln (y)} (x \ln (y))$

단계 7.4

항을 다시 정렬합니다.

$e^{x y \ln (y)} x + e^{x y \ln (y)} x \ln (y)$