미적분 예제

$\int_{0}^{4} \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} d x$

단계 1

먼저 $u = x - 2$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = x - 2$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$x - 2$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

단계 1.1.2

합의 법칙에 의해 $x - 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 1.1.4

$- 2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 2$ 입니다.

$1 + 0$

단계 1.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 1.2

$u = x - 2$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 0 - 2$

단계 1.3

$0$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$u_{lower} = - 2$

단계 1.4

$u = x - 2$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 4 - 2$

단계 1.5

$4$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$u_{upper} = 2$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = - 2$

$u_{upper} = 2$

단계 1.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{- 2}^{2} \frac{1}{u^{2}} d u$

단계 2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 2.1

$u^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\int_{- 2}^{2} {(u^{2})}^{- 1} d u$

단계 2.2

${(u^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int_{- 2}^{2} u^{2 \cdot - 1} d u$

단계 2.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int_{- 2}^{2} u^{- 2} d u$

단계 3

멱의 법칙에 의해 $u^{- 2}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $- u^{- 1}$ 가 됩니다.

$- u^{- 1}]_{- 2}^{2}$

단계 4

대입하여 간단히 합니다.

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단계 4.1

$2$ , $- 2$ 일 때, $- u^{- 1}$ 값을 계산합니다.

$(- 2^{- 1}) + {(- 2)}^{- 1}$

단계 4.2

간단히 합니다.

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단계 4.2.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{2} + {(- 2)}^{- 1}$

단계 4.2.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{2} + \frac{1}{- 2}$

단계 4.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{2}$

단계 4.2.4

$- \frac{1}{2}$ 에서 $\frac{1}{2}$ 을 뺍니다.

$- 2 (\frac{1}{2})$

단계 4.2.5

$- 2$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2}{2}$

단계 4.2.6

$- 2$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.2.6.1

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot - 1}{2}$

단계 4.2.6.2

공약수로 약분합니다.

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단계 4.2.6.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

단계 4.2.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

단계 4.2.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 1}{1}$

단계 4.2.6.2.4

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 1$

단계 5