미적분 예제

$y = {(x^{3} + 2 x + 1)}^{5}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(x^{3} + 2 x + 1)}^{5})$

단계 2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

$f (x) = x^{5}$ , $g (x) = x^{3} + 2 x + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{3} + 2 x + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x^{3} + 2 x + 1]$

단계 3.1.2

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [x^{3} + 2 x + 1]$

단계 3.1.3

$u$ 를 모두 $x^{3} + 2 x + 1$ 로 바꿉니다.

$5 {(x^{3} + 2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3} + 2 x + 1]$

단계 3.2

미분합니다.

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단계 3.2.1

합의 법칙에 의해 $x^{3} + 2 x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$5 {(x^{3} + 2 x + 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 3.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 {(x^{3} + 2 x + 1)}^{4} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 3.2.3

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$5 {(x^{3} + 2 x + 1)}^{4} (3 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 3.2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 {(x^{3} + 2 x + 1)}^{4} (3 x^{2} + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

단계 3.2.5

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$5 {(x^{3} + 2 x + 1)}^{4} (3 x^{2} + 2 + \frac{d}{d x} [1])$

단계 3.2.6

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$5 {(x^{3} + 2 x + 1)}^{4} (3 x^{2} + 2 + 0)$

단계 3.2.7

$3 x^{2} + 2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$5 {(x^{3} + 2 x + 1)}^{4} (3 x^{2} + 2)$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = 5 {(x^{3} + 2 x + 1)}^{4} (3 x^{2} + 2)$

단계 5

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = 5 {(x^{3} + 2 x + 1)}^{4} (3 x^{2} + 2)$