미적분 예제

$\sin^{2} (x) \cdot \cos^{3} (x)$

단계 1

$\sin^{2} (x) \cdot \cos^{3} (x)$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = \sin^{2} (x) \cdot \cos^{3} (x)$

단계 2

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 3

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int \sin^{2} (x) \cdot \cos^{3} (x) d x$

단계 4

$\cos^{2} (x)$ 로 인수분해합니다.

$\int \sin^{2} (x) \cdot (\cos^{2} (x) \cos (x)) d x$

단계 5

피타고라스 항등식을 이용하여 $\cos^{2} (x)$ 를 $1 - \sin^{2} (x)$ 로 바꿔 씁니다.

$\int \sin^{2} (x) \cdot ((1 - \sin^{2} (x)) \cos (x)) d x$

단계 6

$\sin^{2} (x)$ 에 $1 - \sin^{2} (x)$ 을 곱합니다.

$\int \sin^{2} (x) (1 - \sin^{2} (x)) \cos (x) d x$

단계 7

먼저 $u = \sin (x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \cos (x) d x$ 이므로 $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$u = \sin (x)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 7.1.1

$\sin (x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

단계 7.1.2

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$\cos (x)$

단계 7.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int u^{2} (1 - u^{2}) d u$

단계 8

$u^{2} (1 - u^{2})$ 을 곱합니다.

$\int u^{2} \cdot 1 + u^{2} (- u^{2}) d u$

단계 9

간단히 합니다.

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단계 9.1

$u^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int u^{2} + u^{2} (- u^{2}) d u$

단계 9.2

지수를 더하여 $u^{2}$ 에 $u^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 9.2.1

$u^{2}$ 를 옮깁니다.

$\int u^{2} + u^{2} u^{2} \cdot - 1 d u$

단계 9.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int u^{2} + u^{2 + 2} \cdot - 1 d u$

단계 9.2.3

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\int u^{2} + u^{4} \cdot - 1 d u$

단계 9.3

$u^{4}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$\int u^{2} - 1 \cdot u^{4} d u$

단계 9.4

$- 1 u^{4}$ 을 $- u^{4}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int u^{2} - u^{4} d u$

단계 10

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int u^{2} d u + \int - u^{4} d u$

단계 11

멱의 법칙에 의해 $u^{2}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} u^{3}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3} u^{3} + C + \int - u^{4} d u$

단계 12

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - \int u^{4} d u$

단계 13

멱의 법칙에 의해 $u^{4}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{5} u^{5}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - (\frac{1}{5} u^{5} + C)$

단계 14

간단히 합니다.

$\frac{1}{3} u^{3} - \frac{1}{5} u^{5} + C$

단계 15

$u$ 를 모두 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{3} \sin^{3} (x) - \frac{1}{5} \sin^{5} (x) + C$

단계 16

답은 함수 $f (x) = \sin^{2} (x) \cdot \cos^{3} (x)$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $\frac{1}{3} \sin^{3} (x) - \frac{1}{5} \sin^{5} (x) + C$