미적분 예제

$y = (1 + a t) {(c t)}^{- 2}$

단계 1

$f (t) = 1 + a t$ , $g (t) = {(c t)}^{- 2}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 는 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(1 + a t) \frac{d}{d t} [{(c t)}^{- 2}] + {(c t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + a t]$

단계 2

$f (t) = t^{- 2}$ , $g (t) = c t$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $c t$ 로 바꿉니다.

$(1 + a t) (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d t} [c t]) + {(c t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + a t]$

단계 2.2

$n = - 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(1 + a t) (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d t} [c t]) + {(c t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + a t]$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $c t$ 로 바꿉니다.

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} \frac{d}{d t} [c t]) + {(c t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + a t]$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

$c$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $c t$ 의 미분은 $c \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} (c \frac{d}{d t} [t])) + {(c t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + a t]$

단계 3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} (c \cdot 1)) + {(c t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + a t]$

단계 3.3

$c$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} c) + {(c t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + a t]$

단계 3.4

합의 법칙에 의해 $1 + a t$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [a t]$ 가 됩니다.

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} c) + {(c t)}^{- 2} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [a t])$

단계 3.5

$1$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} c) + {(c t)}^{- 2} (0 + \frac{d}{d t} [a t])$

단계 3.6

$0$ 를 $\frac{d}{d t} [a t]$ 에 더합니다.

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} c) + {(c t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [a t]$

단계 3.7

$a$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $a t$ 의 미분은 $a \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} c) + {(c t)}^{- 2} (a \frac{d}{d t} [t])$

단계 3.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} c) + {(c t)}^{- 2} a \cdot 1$

단계 3.9

${(c t)}^{- 2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} c) + a \cdot {(c t)}^{- 2}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

$c t$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$(1 + a t) (- 2 (c^{- 3} t^{- 3}) c) + a {(c t)}^{- 2}$

단계 4.2

$c t$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$(1 + a t) (- 2 (c^{- 3} t^{- 3}) c) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

단계 4.3

분배 법칙을 적용합니다.

$1 (- 2 (c^{- 3} t^{- 3}) c) + a t (- 2 (c^{- 3} t^{- 3}) c) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

단계 4.4

항을 묶습니다.

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단계 4.4.1

$c$ 를 $1$ 승 합니다.

$1 (- 2 (c^{1} c^{- 3}) t^{- 3}) + a t (- 2 (c^{- 3} t^{- 3}) c) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

단계 4.4.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$1 (- 2 c^{1 - 3} t^{- 3}) + a t (- 2 (c^{- 3} t^{- 3}) c) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

단계 4.4.3

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$1 (- 2 c^{- 2} t^{- 3}) + a t (- 2 (c^{- 3} t^{- 3}) c) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

단계 4.4.4

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 2 (c^{- 2} t^{- 3}) + a t (- 2 (c^{- 3} t^{- 3}) c) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

단계 4.4.5

$c$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 2 c^{- 2} t^{- 3} + a t (- 2 (c^{1} c^{- 3}) t^{- 3}) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

단계 4.4.6

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 2 c^{- 2} t^{- 3} + a t (- 2 c^{1 - 3} t^{- 3}) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

단계 4.4.7

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$- 2 c^{- 2} t^{- 3} + a t (- 2 c^{- 2} t^{- 3}) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

단계 4.4.8

$t$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 2 c^{- 2} t^{- 3} + a (- 2 c^{- 2} (t^{1} t^{- 3})) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

단계 4.4.9

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 2 c^{- 2} t^{- 3} + a (- 2 c^{- 2} t^{1 - 3}) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

단계 4.4.10

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$- 2 c^{- 2} t^{- 3} + a (- 2 c^{- 2} t^{- 2}) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

단계 4.4.11

$a (- 2 c^{- 2} t^{- 2})$ 를 $a c^{- 2} t^{- 2}$ 에 더합니다.

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단계 4.4.11.1

$a$ 와 $- 2$ 을 다시 정렬합니다.

$- 2 c^{- 2} t^{- 3} - 2 \cdot a c^{- 2} t^{- 2} + a c^{- 2} t^{- 2}$

단계 4.4.11.2

$- 2 \cdot a c^{- 2} t^{- 2}$ 를 $a c^{- 2} t^{- 2}$ 에 더합니다.

$- 2 c^{- 2} t^{- 3} - a c^{- 2} t^{- 2}$

단계 4.5

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.5.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- 2 \frac{1}{c^{2}} t^{- 3} - a c^{- 2} t^{- 2}$

단계 4.5.2

$- 2$ 와 $\frac{1}{c^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2}{c^{2}} t^{- 3} - a c^{- 2} t^{- 2}$

단계 4.5.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{2}{c^{2}} t^{- 3} - a c^{- 2} t^{- 2}$

단계 4.5.4

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- \frac{2}{c^{2}} \cdot \frac{1}{t^{3}} - a c^{- 2} t^{- 2}$

단계 4.5.5

$\frac{1}{t^{3}}$ 에 $\frac{2}{c^{2}}$ 을 곱합니다.

$- \frac{2}{t^{3} c^{2}} - a c^{- 2} t^{- 2}$

단계 4.5.6

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- \frac{2}{t^{3} c^{2}} - a \frac{1}{c^{2}} t^{- 2}$

단계 4.5.7

$\frac{1}{c^{2}}$ 와 $a$ 을 묶습니다.

$- \frac{2}{t^{3} c^{2}} - \frac{a}{c^{2}} t^{- 2}$

단계 4.5.8

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- \frac{2}{t^{3} c^{2}} - \frac{a}{c^{2}} \cdot \frac{1}{t^{2}}$

단계 4.5.9

$\frac{1}{t^{2}}$ 에 $\frac{a}{c^{2}}$ 을 곱합니다.

$- \frac{2}{t^{3} c^{2}} - \frac{a}{t^{2} c^{2}}$