미적분 예제

$\int_{0}^{2} \frac{x}{{(1 + 2 x^{2})}^{2}} d x$

단계 1

먼저 $u = 1 + 2 x^{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 4 x d x$ 이므로 $\frac{1}{4} d u = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$u = 1 + 2 x^{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$1 + 2 x^{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [1 + 2 x^{2}]$

단계 1.1.2

미분합니다.

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단계 1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $1 + 2 x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

단계 1.1.2.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{2}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$0 + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 2 (2 x)$

단계 1.1.3.3

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$0 + 4 x$

단계 1.1.4

$0$ 를 $4 x$ 에 더합니다.

$4 x$

단계 1.2

$u = 1 + 2 x^{2}$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 1 + 2 \cdot 0^{2}$

단계 1.3

간단히 합니다.

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단계 1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.3.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$u_{lower} = 1 + 2 \cdot 0$

단계 1.3.1.2

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 1 + 0$

단계 1.3.2

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$u_{lower} = 1$

단계 1.4

$u = 1 + 2 x^{2}$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 1 + 2 \cdot 2^{2}$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.5.1.1

지수를 더하여 $2$ 에 $2^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 1.5.1.1.1

$2$ 에 $2^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 1.5.1.1.1.1

$2$ 를 $1$ 승 합니다.

$u_{upper} = 1 + 2^{1} \cdot 2^{2}$

단계 1.5.1.1.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$u_{upper} = 1 + 2^{1 + 2}$

단계 1.5.1.1.2

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$u_{upper} = 1 + 2^{3}$

단계 1.5.1.2

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$u_{upper} = 1 + 8$

단계 1.5.2

$1$ 를 $8$ 에 더합니다.

$u_{upper} = 9$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

단계 1.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{1}^{9} \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{4} d u$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

$\frac{1}{u^{2}}$ 에 $\frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

$\int_{1}^{9} \frac{1}{u^{2} \cdot 4} d u$

단계 2.2

$u^{2}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$\int_{1}^{9} \frac{1}{4 u^{2}} d u$

단계 3

$\frac{1}{4}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} \frac{1}{u^{2}} d u$

단계 4

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 4.1

$u^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} {(u^{2})}^{- 1} d u$

단계 4.2

${(u^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 4.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{2 \cdot - 1} d u$

단계 4.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{- 2} d u$

단계 5

멱의 법칙에 의해 $u^{- 2}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $- u^{- 1}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{4} - u^{- 1}]_{1}^{9}$

단계 6

대입하여 간단히 합니다.

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단계 6.1

$9$ , $1$ 일 때, $- u^{- 1}$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{4} ((- 9^{- 1}) + 1^{- 1})$

단계 6.2

간단히 합니다.

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단계 6.2.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{9} + 1^{- 1})$

단계 6.2.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{9} + 1)$

단계 6.2.3

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{9} + \frac{9}{9})$

단계 6.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 1 + 9}{9}$

단계 6.2.5

$- 1$ 를 $9$ 에 더합니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{8}{9}$

단계 6.2.6

$\frac{1}{4}$ 에 $\frac{8}{9}$ 을 곱합니다.

$\frac{8}{4 \cdot 9}$

단계 6.2.7

$4$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$\frac{8}{36}$

단계 6.2.8

$8$ 및 $36$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.8.1

$8$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (2)}{36}$

단계 6.2.8.2

공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.8.2.1

$36$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 9}$

단계 6.2.8.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 9}$

단계 6.2.8.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2}{9}$

단계 7

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{2}{9}$

소수 형태:

$0.\overline{2}$

단계 8