미적분 예제

$\int \frac{4 x + 2}{x^{2} + x + 5} d x$

단계 1

$4 x + 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$4 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{2 (2 x) + 2}{x^{2} + x + 5} d x$

단계 1.2

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{2 (2 x) + 2 (1)}{x^{2} + x + 5} d x$

단계 1.3

$2 (2 x) + 2 (1)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{2 (2 x + 1)}{x^{2} + x + 5} d x$

단계 2

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 \int \frac{2 x + 1}{x^{2} + x + 5} d x$

단계 3

먼저 $u = x^{2} + x + 5$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = (2 x + 1) d x$ 이므로 $\frac{1}{2 x + 1} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 3.1

$u = x^{2} + x + 5$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 3.1.1

$x^{2} + x + 5$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x + 5]$

단계 3.1.2

합의 법칙에 의해 $x^{2} + x + 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

단계 3.1.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

단계 3.1.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x + 1 + \frac{d}{d x} [5]$

단계 3.1.5

$5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $5$ 입니다.

$2 x + 1 + 0$

단계 3.1.6

$2 x + 1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 x + 1$

단계 3.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$2 \int \frac{1}{u} d u$

단계 4

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$2 (\ln (| u |) + C)$

단계 5

간단히 합니다.

$2 \ln (| u |) + C$

단계 6

$u$ 를 모두 $x^{2} + x + 5$ 로 바꿉니다.

$2 \ln (| x^{2} + x + 5 |) + C$