미적분 예제

$y = - 4 \cos (x + \frac{π}{4})$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 4 \cos (x + \frac{π}{4})$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d x} [\cos (x + \frac{π}{4})]$ 입니다.

$- 4 \frac{d}{d x} [\cos (x + \frac{π}{4})]$

단계 1.2

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = x + \frac{π}{4}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x + \frac{π}{4}$ 로 바꿉니다.

$- 4 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{4}])$

단계 1.2.2

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u)$ 입니다.

$- 4 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{4}])$

단계 1.2.3

$u$ 를 모두 $x + \frac{π}{4}$ 로 바꿉니다.

$- 4 (- \sin (x + \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{4}])$

단계 1.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$- 1$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$4 (\sin (x + \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{4}])$

단계 1.3.2

합의 법칙에 의해 $x + \frac{π}{4}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$ 가 됩니다.

$4 \sin (x + \frac{π}{4}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}])$

단계 1.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \sin (x + \frac{π}{4}) (1 + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}])$

단계 1.3.4

$\frac{π}{4}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $\frac{π}{4}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{π}{4}$ 입니다.

$4 \sin (x + \frac{π}{4}) (1 + 0)$

단계 1.3.5

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.5.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$4 \sin (x + \frac{π}{4}) \cdot 1$

단계 1.3.5.2

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 \sin (x + \frac{π}{4})$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 \sin (x + \frac{π}{4})$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [\sin (x + \frac{π}{4})]$ 입니다.

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\sin (x + \frac{π}{4}))$

단계 2.2

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = x + \frac{π}{4}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x + \frac{π}{4}$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 4 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (x + \frac{π}{4}))$

단계 2.2.2

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\cos (u)$ 입니다.

$f'' (x) = 4 (\cos (u) \frac{d}{d x} (x + \frac{π}{4}))$

단계 2.2.3

$u$ 를 모두 $x + \frac{π}{4}$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 4 (\cos (x + \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} (x + \frac{π}{4}))$

단계 2.3

미분합니다.

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단계 2.3.1

합의 법칙에 의해 $x + \frac{π}{4}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = 4 \cos (x + \frac{π}{4}) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{π}{4}))$

단계 2.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 4 \cos (x + \frac{π}{4}) (1 + \frac{d}{d x} (\frac{π}{4}))$

단계 2.3.3

$\frac{π}{4}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $\frac{π}{4}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{π}{4}$ 입니다.

$f'' (x) = 4 \cos (x + \frac{π}{4}) (1 + 0)$

단계 2.3.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 4 \cos (x + \frac{π}{4}) \cdot 1$

단계 2.3.4.2

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 4 \cos (x + \frac{π}{4})$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$4 \sin (x + \frac{π}{4}) = 0$

단계 4

$4 \sin (x + \frac{π}{4}) = 0$ 의 각 항을 $4$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 4.1

$4 \sin (x + \frac{π}{4}) = 0$ 의 각 항을 $4$ 로 나눕니다.

$\frac{4 \sin (x + \frac{π}{4})}{4} = \frac{0}{4}$

단계 4.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 \sin (x + \frac{π}{4})}{4} = \frac{0}{4}$

단계 4.2.1.2

$\sin (x + \frac{π}{4})$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\sin (x + \frac{π}{4}) = \frac{0}{4}$

단계 4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$0$ 을 $4$ 로 나눕니다.

$\sin (x + \frac{π}{4}) = 0$

단계 5

사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 사인의 역을 취합니다.

$x + \frac{π}{4} = \arcsin (0)$

단계 6

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$\arcsin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$x + \frac{π}{4} = 0$

단계 7

방정식의 양변에서 $\frac{π}{4}$ 를 뺍니다.

$x = - \frac{π}{4}$

단계 8

사인 함수는 제1사분면과 제2사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $π$ 에서 기준각을 빼어 제2사분면에 속한 해를 구합니다.

$x + \frac{π}{4} = π - 0$

단계 9

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 9.1

$π$ 에서 $0$ 을 뺍니다.

$x + \frac{π}{4} = π$

단계 9.2

$x$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

방정식의 양변에서 $\frac{π}{4}$ 를 뺍니다.

$x = π - \frac{π}{4}$

단계 9.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $π$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

단계 9.2.3

$π$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

단계 9.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

단계 9.2.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 9.2.5.1

$π$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

단계 9.2.5.2

$4 π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$x = \frac{3 π}{4}$

단계 10

방정식 $x + \frac{π}{4} = 0$ 의 해.

$x = - \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}$

단계 11

$x = - \frac{π}{4}$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$4 \cos ((- \frac{π}{4}) + \frac{π}{4})$

단계 12

이차 미분값을 구합니다.

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단계 12.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$4 \cos (\frac{- π + π}{4})$

단계 12.2

$- π$ 를 $π$ 에 더합니다.

$4 \cos (\frac{0}{4})$

단계 12.3

$0$ 을 $4$ 로 나눕니다.

$4 \cos (0)$

단계 12.4

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$4 \cdot 1$

단계 12.5

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4$

단계 13

이계도함수가 양수이므로 $x = - \frac{π}{4}$ 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = - \frac{π}{4}$ 은 극소값입니다.

단계 14

$x = - \frac{π}{4}$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- \frac{π}{4}$ 을 대입합니다.

$f (- \frac{π}{4}) = - 4 \cos ((- \frac{π}{4}) + \frac{π}{4})$

단계 14.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 14.2.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (- \frac{π}{4}) = - 4 \cos (\frac{- π + π}{4})$

단계 14.2.2

$- π$ 를 $π$ 에 더합니다.

$f (- \frac{π}{4}) = - 4 \cos (\frac{0}{4})$

단계 14.2.3

$0$ 을 $4$ 로 나눕니다.

$f (- \frac{π}{4}) = - 4 \cos (0)$

단계 14.2.4

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$f (- \frac{π}{4}) = - 4 \cdot 1$

단계 14.2.5

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (- \frac{π}{4}) = - 4$

단계 14.2.6

최종 답은 $- 4$ 입니다.

$y = - 4$

단계 15

$x = \frac{3 π}{4}$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$4 \cos ((\frac{3 π}{4}) + \frac{π}{4})$

단계 16

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$4 \cos (\frac{3 π + π}{4})$

단계 16.2

$3 π$ 를 $π$ 에 더합니다.

$4 \cos (\frac{4 π}{4})$

단계 16.3

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 16.3.1

공약수로 약분합니다.

$4 \cos (\frac{4 π}{4})$

단계 16.3.2

$π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$4 \cos (π)$

단계 16.4

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제2사분면에서 코사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$4 (- \cos (0))$

단계 16.5

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$4 (- 1 \cdot 1)$

단계 16.6

$4 (- 1 \cdot 1)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.6.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 \cdot - 1$

단계 16.6.2

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 4$

단계 17

이계도함수가 음수이므로 $x = \frac{3 π}{4}$ 은 극대값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = \frac{3 π}{4}$ 은 극대값입니다

단계 18

$x = \frac{3 π}{4}$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 18.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\frac{3 π}{4}$ 을 대입합니다.

$f (\frac{3 π}{4}) = - 4 \cos ((\frac{3 π}{4}) + \frac{π}{4})$

단계 18.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 18.2.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (\frac{3 π}{4}) = - 4 \cos (\frac{3 π + π}{4})$

단계 18.2.2

$3 π$ 를 $π$ 에 더합니다.

$f (\frac{3 π}{4}) = - 4 \cos (\frac{4 π}{4})$

단계 18.2.3

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 18.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{3 π}{4}) = - 4 \cos (\frac{4 π}{4})$

단계 18.2.3.2

$π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f (\frac{3 π}{4}) = - 4 \cos (π)$

단계 18.2.4

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제2사분면에서 코사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$f (\frac{3 π}{4}) = - 4 (- \cos (0))$

단계 18.2.5

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$f (\frac{3 π}{4}) = - 4 (- 1 \cdot 1)$

단계 18.2.6

$- 4 (- 1 \cdot 1)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 18.2.6.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (\frac{3 π}{4}) = - 4 \cdot - 1$

단계 18.2.6.2

$- 4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f (\frac{3 π}{4}) = 4$

단계 18.2.7

최종 답은 $4$ 입니다.

$y = 4$

단계 19

$f (x) = - 4 \cos (x + \frac{π}{4})$ 에 대한 극값입니다.

$(- \frac{π}{4}, - 4)$ 은 극솟값임

$(\frac{3 π}{4}, 4)$ 은 극댓값임

단계 20