미적분 예제

$2^{\frac{1}{x}}$

단계 1

$f (x) = 2^{x}$ , $g (x) = \frac{1}{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{1}{x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [2^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

단계 1.2

$a$ = $2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2^{u} \ln (2) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $\frac{1}{x}$ 로 바꿉니다.

$2^{\frac{1}{x}} \ln (2) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

단계 2

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$2^{\frac{1}{x}} \ln (2) \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

단계 2.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2^{\frac{1}{x}} \ln (2) (- x^{- 2})$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$2^{\frac{1}{x}} \ln (2) (- \frac{1}{x^{2}})$

단계 3.2

항을 묶습니다.

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단계 3.2.1

$2^{\frac{1}{x}}$ 와 $\frac{1}{x^{2}}$ 을 묶습니다.

$\ln (2) (- \frac{2^{\frac{1}{x}}}{x^{2}})$

단계 3.2.2

$\ln (2)$ 와 $\frac{2^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{\ln (2) \cdot 2^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$

단계 3.3

$- \frac{\ln (2) \cdot 2^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- \frac{2^{\frac{1}{x}} \ln (2)}{x^{2}}$