미적분 예제

$\int \frac{2 e^{\frac{1}{x^{2}}}}{3 x^{3}} d x$

단계 1

$\frac{2}{3}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{2}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{2}{3} \int \frac{e^{\frac{1}{x^{2}}}}{x^{3}} d x$

단계 2

먼저 $u = \frac{1}{x^{2}}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - \frac{2}{x^{3}} d x$ 이므로 $1 d u = - \frac{2}{x^{3}} d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 2.1

$u = \frac{1}{x^{2}}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 2.1.1

$\frac{1}{x^{2}}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

단계 2.1.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 2.1.2.1

$\frac{1}{x^{2}}$ 을 ${(x^{2})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

단계 2.1.2.2

${(x^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.1.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

단계 2.1.2.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

단계 2.1.3

$n = - 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 x^{- 3}$

단계 2.1.4

간단히 합니다.

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단계 2.1.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- 2 \frac{1}{x^{3}}$

단계 2.1.4.2

항을 묶습니다.

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단계 2.1.4.2.1

$- 2$ 와 $\frac{1}{x^{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2}{x^{3}}$

단계 2.1.4.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{2}{x^{3}}$

단계 2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{2}{3} \int - \frac{1}{2} e^{u} d u$

단계 3

$- \frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- \frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

$\frac{2}{3}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{2}{3 \cdot 2} \int e^{u} d u$

단계 4.2

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{2}{6} \int e^{u} d u$

단계 4.3

$2$ 및 $6$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.3.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{2 (1)}{6} \int e^{u} d u$

단계 4.3.2

공약수로 약분합니다.

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단계 4.3.2.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int e^{u} d u$

단계 4.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int e^{u} d u$

단계 4.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{3} \int e^{u} d u$

단계 5

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$- \frac{1}{3} (e^{u} + C)$

단계 6

간단히 합니다.

$- \frac{1}{3} e^{u} + C$

단계 7

$u$ 를 모두 $\frac{1}{x^{2}}$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{3} e^{\frac{1}{x^{2}}} + C$