미적분 예제

$\frac{\sin (x)}{\cos^{5} (x)}$

단계 1

$\frac{\sin (x)}{\cos^{5} (x)}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = \frac{\sin (x)}{\cos^{5} (x)}$

단계 2

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 3

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int \frac{\sin (x)}{\cos^{5} (x)} d x$

단계 4

먼저 $u = \cos (x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - \sin (x) d x$ 이므로 $- d u = \sin (x) d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$u = \cos (x)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$\cos (x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 4.1.2

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$- \sin (x)$

단계 4.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{- 1}{u^{5}} d u$

단계 5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int - \frac{1}{u^{5}} d u$

단계 6

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int \frac{1}{u^{5}} d u$

단계 7

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 7.1

$u^{5}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$- \int {(u^{5})}^{- 1} d u$

단계 7.2

${(u^{5})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \int u^{5 \cdot - 1} d u$

단계 7.2.2

$5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \int u^{- 5} d u$

단계 8

멱의 법칙에 의해 $u^{- 5}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $- \frac{1}{4} u^{- 4}$ 가 됩니다.

$- (- \frac{1}{4} u^{- 4} + C)$

단계 9

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1

$u^{- 4}$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$- (- \frac{u^{- 4}}{4} + C)$

단계 9.1.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $u^{- 4}$ 를 분모로 이동합니다.

$- (- \frac{1}{4 u^{4}} + C)$

단계 9.2

간단히 합니다.

$- - \frac{1}{4 u^{4}} + C$

단계 9.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 \frac{1}{4 u^{4}} + C$

단계 9.3.2

$\frac{1}{4 u^{4}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4 u^{4}} + C$

단계 10

$u$ 를 모두 $\cos (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{4 \cos^{4} (x)} + C$

단계 11

간단히 합니다.

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단계 11.1

$1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4 (\cos^{4} (x) \cdot 1)} + C$

단계 11.2

분수를 나눕니다.

$\frac{1}{4 \cdot (1)} \cdot \frac{1}{\cos^{4} (x)} + C$

단계 11.3

$\frac{1}{\cos^{4} (x)}$ 을 $\sec^{4} (x)$ 로 변환합니다.

$\frac{1}{4 \cdot (1)} \sec^{4} (x) + C$

단계 11.4

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} \sec^{4} (x) + C$

단계 11.5

$\frac{1}{4}$ 와 $\sec^{4} (x)$ 을 묶습니다.

$\frac{\sec^{4} (x)}{4} + C$

단계 11.6

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{4} \sec^{4} (x) + C$

단계 12

답은 함수 $f (x) = \frac{\sin (x)}{\cos^{5} (x)}$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $\frac{1}{4} \sec^{4} (x) + C$