미적분 예제

$\sqrt[3]{x} - 3 x^{3}$

단계 1

합의 법칙에 의해 $\sqrt[3]{x} - 3 x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

단계 2.2

$n = \frac{1}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

단계 2.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

단계 2.4

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

단계 2.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

단계 2.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.6.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

단계 2.6.2

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

단계 2.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 x^{3}$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - 3 (3 x^{2})$

단계 3.3

$3$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - 9 x^{2}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} - 9 x^{2}$

단계 4.2

$\frac{1}{3}$ 에 $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 9 x^{2}$

단계 4.3

항을 다시 정렬합니다.

$- 9 x^{2} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$