미적분 예제

$lim_{x \to 0} \frac{{(1 - 4 x)}^{2} - 1}{- 10 x}$

단계 1

$\frac{1}{- 10}$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{{(1 - 4 x)}^{2} - 1}{x}$

단계 2

로피탈 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{1}{- 10} \cdot \frac{lim_{x \to 0} {(1 - 4 x)}^{2} - 1}{lim_{x \to 0} x}$

단계 2.1.2

분자의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1.1

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{1}{- 10} \cdot \frac{lim_{x \to 0} {(1 - 4 x)}^{2} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

단계 2.1.2.1.2

극한의 멱의 법칙을 이용하여 ${(1 - 4 x)}^{2}$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{- 10} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} 1 - 4 x)}^{2} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

단계 2.1.2.1.3

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{1}{- 10} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 4 x)}^{2} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

단계 2.1.2.1.4

$x$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{1}{- 10} \cdot \frac{{(1 - lim_{x \to 0} 4 x)}^{2} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

단계 2.1.2.1.5

$4$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{- 10} \cdot \frac{{(1 - 4 lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

단계 2.1.2.1.6

$x$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{1}{- 10} \cdot \frac{{(1 - 4 lim_{x \to 0} x)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

단계 2.1.2.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{- 10} \cdot \frac{{(1 - 4 \cdot 0)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

단계 2.1.2.3

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.3.1.1

$- 4$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{- 10} \cdot \frac{{(1 + 0)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

단계 2.1.2.3.1.2

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{- 10} \cdot \frac{1^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

단계 2.1.2.3.1.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{1}{- 10} \cdot \frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

단계 2.1.2.3.1.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{- 10} \cdot \frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x}$

단계 2.1.2.3.2

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{- 10} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

단계 2.1.3

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{- 10} \cdot \frac{0}{0}$

단계 2.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{1}{- 10} \cdot \frac{0}{0}$

단계 2.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 0} \frac{{(1 - 4 x)}^{2} - 1}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(1 - 4 x)}^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3

분자와 분모를 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(1 - 4 x)}^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3.2

${(1 - 4 x)}^{2}$ 을 $(1 - 4 x) (1 - 4 x)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [(1 - 4 x) (1 - 4 x) - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3.3

FOIL 계산법을 이용하여 $(1 - 4 x) (1 - 4 x)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 (1 - 4 x) - 4 x (1 - 4 x) - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 \cdot 1 + 1 \cdot - 4 x - 4 x (1 - 4 x) - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 \cdot 1 + 1 \cdot - 4 x - 4 x \cdot 1 - 4 x \cdot - 4 x - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3.4

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.4.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.4.1.1

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 + 1 \cdot - 4 x - 4 x \cdot 1 - 4 x \cdot - 4 x - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3.4.1.2

$- 4 x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - 4 x - 4 x \cdot 1 - 4 x \cdot - 4 x - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3.4.1.3

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - 4 x - 4 x - 4 x \cdot - 4 x - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3.4.1.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - 4 x - 4 x - 4 \cdot - 4 x \cdot x - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3.4.1.5

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - 4 x - 4 x - 4 \cdot - 4 x^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3.4.1.6

$- 4$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - 4 x - 4 x + 16 x^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3.4.2

$- 4 x$ 에서 $4 x$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - 8 x + 16 x^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3.5

합의 법칙에 의해 $1 - 8 x + 16 x^{2} - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3.6

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3.7

$\frac{d}{d x} [- 8 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.7.1

$- 8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 8 x$ 의 미분은 $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{0 - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3.7.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{0 - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3.7.3

$- 8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{0 - 8 + \frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3.8

$\frac{d}{d x} [16 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.8.1

$16$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $16 x^{2}$ 의 미분은 $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{0 - 8 + 16 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3.8.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{0 - 8 + 16 \cdot 2 x + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3.8.3

$2$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{0 - 8 + 32 x + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3.9

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{0 - 8 + 32 x + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3.10

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.10.1

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.10.1.1

$0$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{- 8 + 32 x + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3.10.1.2

$- 8 + 32 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{- 8 + 32 x}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3.10.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{32 x - 8}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3.11

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{32 x - 8}{1}$

단계 2.4

$32 x - 8$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} 32 x - 8$

단계 3

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{1}{- 10} (lim_{x \to 0} 32 x - lim_{x \to 0} 8)$

단계 3.2

$32$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{- 10} (32 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 8)$

단계 3.3

$x$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $8$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{1}{- 10} (32 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 8)$

단계 4

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{- 10} (32 \cdot 0 - 1 \cdot 8)$

단계 5

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{10} (32 \cdot 0 - 1 \cdot 8)$

단계 5.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$32$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{10} (0 - 1 \cdot 8)$

단계 5.2.2

$- 1$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{10} (0 - 8)$

단계 5.3

$0$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$- \frac{1}{10} \cdot - 8$

단계 5.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

$- \frac{1}{10}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{- 1}{10} \cdot - 8$

단계 5.4.2

$10$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 1}{2 (5)} \cdot - 8$

단계 5.4.3

$- 8$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot - 4)$

단계 5.4.4

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot - 4)$

단계 5.4.5

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 1}{5} \cdot - 4$

단계 5.5

$\frac{- 1}{5}$ 와 $- 4$ 을 묶습니다.

$\frac{- - 4}{5}$

단계 5.6

$- 1$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{5}$

단계 6

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{4}{5}$

소수 형태:

$0.8$