미적분 예제

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{3 + \sin (x)} d x$

단계 1

먼저 $u = 3 + \sin (x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \cos (x) d x$ 이므로 $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = 3 + \sin (x)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$3 + \sin (x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [3 + \sin (x)]$

단계 1.1.2

미분합니다.

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단계 1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $3 + \sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

단계 1.1.2.2

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

단계 1.1.3

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$0 + \cos (x)$

단계 1.1.4

$0$ 를 $\cos (x)$ 에 더합니다.

$\cos (x)$

단계 1.2

$u = 3 + \sin (x)$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 3 + \sin (\frac{π}{6})$

단계 1.3

간단히 합니다.

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단계 1.3.1

$\sin (\frac{π}{6})$ 의 정확한 값은 $\frac{1}{2}$ 입니다.

$u_{lower} = 3 + \frac{1}{2}$

단계 1.3.2

공통 분모를 가지는 분수로 $3$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

단계 1.3.3

$3$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$u_{lower} = \frac{3 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}$

단계 1.3.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$u_{lower} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2}$

단계 1.3.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.3.5.1

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = \frac{6 + 1}{2}$

단계 1.3.5.2

$6$ 를 $1$ 에 더합니다.

$u_{lower} = \frac{7}{2}$

단계 1.4

$u = 3 + \sin (x)$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 3 + \sin (\frac{π}{2})$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

$\sin (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$u_{upper} = 3 + 1$

단계 1.5.2

$3$ 를 $1$ 에 더합니다.

$u_{upper} = 4$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = \frac{7}{2}$

$u_{upper} = 4$

단계 1.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{\frac{7}{2}}^{4} \frac{1}{u} d u$

단계 2

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$\ln (| u |)]_{\frac{7}{2}}^{4}$

단계 3

$4$ , $\frac{7}{2}$ 일 때, $\ln (| u |)$ 값을 계산합니다.

$\ln (| 4 |) - \ln (| \frac{7}{2} |)$

단계 4

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$\ln (\frac{| 4 |}{| \frac{7}{2} |})$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $4$ 사이의 거리는 $4$ 입니다.

$\ln (\frac{4}{| \frac{7}{2} |})$

단계 5.2

$\frac{7}{2}$ 은 약 $3.5$ 로 양수이므로 절댓값 기호를 없앱니다.

$\ln (\frac{4}{\frac{7}{2}})$

단계 5.3

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\ln (4 (\frac{2}{7}))$

단계 5.4

$4 (\frac{2}{7})$ 을 곱합니다.

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단계 5.4.1

$4$ 와 $\frac{2}{7}$ 을 묶습니다.

$\ln (\frac{4 \cdot 2}{7})$

단계 5.4.2

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\ln (\frac{8}{7})$

단계 6

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\ln (\frac{8}{7})$

소수 형태:

$0.13353139 \dots$