미적분 예제

$x^{\frac{4}{3}} + 4 x^{\frac{1}{3}}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

합의 법칙에 의해 $x^{\frac{4}{3}} + 4 x^{\frac{1}{3}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{3}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{3}}]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.2.1

$n = \frac{4}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{3}}]$

단계 1.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{3}}]$

단계 1.2.3

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{3}}]$

단계 1.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{3}}]$

단계 1.2.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.2.5.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{3}}]$

단계 1.2.5.2

$4$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{3}}]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{3}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{\frac{1}{3}}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ 입니다.

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

단계 1.3.2

$n = \frac{1}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + 4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

단계 1.3.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + 4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

단계 1.3.4

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + 4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

단계 1.3.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + 4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

단계 1.3.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.3.6.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + 4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

단계 1.3.6.2

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + 4 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

단계 1.3.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + 4 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

단계 1.3.8

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{- \frac{2}{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + 4 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

단계 1.3.9

$4$ 와 $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

단계 1.3.10

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{2}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

단계 1.4

$\frac{4}{3}$ 와 $x^{\frac{1}{3}}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$\frac{4}{3}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ 의 미분은 $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ 입니다.

$\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

단계 2.2.2

$n = \frac{1}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{4}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

단계 2.2.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

단계 2.2.4

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

단계 2.2.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{4}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

단계 2.2.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.2.6.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

단계 2.2.6.2

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{4}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

단계 2.2.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{4}{3} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

단계 2.2.8

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{- \frac{2}{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

단계 2.2.9

$\frac{4}{3}$ 에 $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{4 x^{- \frac{2}{3}}}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

단계 2.2.10

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{4 x^{- \frac{2}{3}}}{9} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

단계 2.2.11

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{2}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$\frac{4}{3}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 의 미분은 $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ 입니다.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$

단계 2.3.2

$\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ 을 ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}]$

단계 2.3.3

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{\frac{2}{3}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}])$

단계 2.3.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}])$

단계 2.3.3.3

$u$ 를 모두 $x^{\frac{2}{3}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}])$

단계 2.3.4

$n = \frac{2}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

단계 2.3.5

${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.3.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

단계 2.3.5.2

$\frac{2}{3} \cdot - 2$ 을 곱합니다.

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단계 2.3.5.2.1

$\frac{2}{3}$ 와 $- 2$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

단계 2.3.5.2.2

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

단계 2.3.5.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

단계 2.3.6

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

단계 2.3.7

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

단계 2.3.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}))$

단계 2.3.9

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.3.9.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}))$

단계 2.3.9.2

$2$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}))$

단계 2.3.10

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}))$

단계 2.3.11

$\frac{2}{3}$ 와 $x^{- \frac{1}{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3})$

단계 2.3.12

$\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ 와 $x^{- \frac{4}{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

단계 2.3.13

지수를 더하여 $x^{- \frac{1}{3}}$ 에 $x^{- \frac{4}{3}}$ 을 곱합니다.

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단계 2.3.13.1

$x^{- \frac{4}{3}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- \frac{2 (x^{- \frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}})}{3})$

단계 2.3.13.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- \frac{2 x^{- \frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{3})$

단계 2.3.13.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- \frac{2 x^{\frac{- 4 - 1}{3}}}{3})$

단계 2.3.13.4

$- 4$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- \frac{2 x^{\frac{- 5}{3}}}{3})$

단계 2.3.13.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- \frac{2 x^{- \frac{5}{3}}}{3})$

단계 2.3.14

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{5}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}})$

단계 2.3.15

$\frac{4}{3}$ 에 $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4 \cdot 2}{3 (3 x^{\frac{5}{3}})}$

단계 2.3.16

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{3 (3 x^{\frac{5}{3}})}$

단계 2.3.17

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}}$