미적분 예제

$f (x) = \sqrt{8 x}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$\frac{d}{d x} [\sqrt{8 x}]$ 을 $\frac{d}{d x} [2 \sqrt{2 x}]$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$8 x$ 을 $2^{2} \cdot (2 x)$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.1

$8$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{4 (2) x}]$

단계 1.1.1.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{2^{2} \cdot 2 x}]$

단계 1.1.1.3

괄호를 표시합니다.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{2^{2} \cdot (2 x)}]$

단계 1.1.2

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\frac{d}{d x} [2 \sqrt{2 x}]$

단계 1.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2 x}$ 을(를) ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [2 {(2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 1.3

$2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d}{d x} [2 {(2 (x))}^{\frac{1}{2}}]$

단계 1.4

$2 (x)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [2 (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]$

단계 1.5

$2$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{1} x^{\frac{1}{2}}]$

단계 1.6

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2} + 1} x^{\frac{1}{2}}]$

단계 1.7

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.1

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

단계 1.7.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1 + 2}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

단계 1.7.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

단계 1.8

$2^{\frac{3}{2}}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ 의 미분은 $2^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 입니다.

$2^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

단계 1.9

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

단계 1.10

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

단계 1.11

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

단계 1.12

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

단계 1.13

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.13.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

단계 1.13.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

단계 1.14

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

단계 1.15

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$2^{\frac{3}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

단계 1.16

$2^{\frac{3}{2}}$ 와 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{2^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

단계 1.17

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.17.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{2^{\frac{3}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.17.2

음의 지수 법칙 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 을 활용하여 $2^{1}$ 를 분자로 이동합니다.

$\frac{2^{\frac{3}{2}} \cdot 2^{- 1}}{x^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.18

지수를 더하여 $2^{\frac{3}{2}}$ 에 $2^{- 1}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.18.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2^{\frac{3}{2} - 1}}{x^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.18.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{2^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.18.3

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{2^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.18.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.18.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.18.5.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{2^{\frac{3 - 2}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.18.5.2

$3$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f' (x) = \frac{2^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$2^{\frac{1}{2}}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{2^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ 의 미분은 $2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ 입니다.

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

단계 2.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 2.2.1

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 을 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

단계 2.2.2

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

단계 2.2.2.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}]$

단계 2.2.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

단계 2.3

$n = - \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

단계 2.4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

단계 2.5

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

단계 2.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

단계 2.7

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

단계 2.7.2

$- 1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

단계 2.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

단계 2.9

$x^{- \frac{3}{2}}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

단계 2.10

$2^{\frac{1}{2}}$ 와 $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{2^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

단계 2.11

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.11.1

음의 지수 법칙 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 을 활용하여 $2^{\frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}}$

단계 2.11.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{3}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$- \frac{1}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

단계 2.12

지수를 더하여 $2$ 에 $2^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.12.1

$2$ 에 $2^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.12.1.1

$2$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{1}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

단계 2.12.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{1}{2^{1 - \frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

단계 2.12.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$- \frac{1}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

단계 2.12.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{1}{2^{\frac{2 - 1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

단계 2.12.4

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = - \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

단계 3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $- \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$ 입니다.

$- \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$