미적분 예제

$\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{\sqrt{4 - x^{2}}} d x$

단계 1

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 일 때 $x = 2 \sin (t)$ 라고 하면 $d x = 2 \cos (t) d t$ 입니다. $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 이므로 $2 \cos (t)$ 는 양수입니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}}} (2 \cos (t)) d t$

단계 2

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$\sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.1

$2 \sin (t)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 - (2^{2} \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

단계 2.1.1.2

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 - (4 \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

단계 2.1.1.3

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

단계 2.1.2

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 (1) - 4 \sin^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

단계 2.1.3

$- 4 \sin^{2} (t)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

단계 2.1.4

$4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 (1 - \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

단계 2.1.5

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 \cos^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

단계 2.1.6

$4 \cos^{2} (t)$ 을 ${(2 \cos (t))}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(2 \cos (t))}^{2}}} (2 \cos (t)) d t$

단계 2.1.7

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{2 \cos (t)} (2 \cos (t)) d t$

단계 2.2

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$2 \cos (t)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{2 \cos (t)} (2 \cos (t)) d t$

단계 2.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(2 \sin (t))}^{2} d t$

단계 2.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

$2 \sin (t)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(2 (\sin (t)))}^{2} d t$

단계 2.2.2.2

$2 (\sin (t))$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} 2^{2} \sin^{2} (t) d t$

단계 2.2.2.3

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} 4 \sin^{2} (t) d t$

단계 3

$4$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$4 \int_{0}^{\frac{π}{6}} \sin^{2} (t) d t$

단계 4

반각 공식을 이용해 $\sin^{2} (t)$ 를 $\frac{1 - \cos (2 t)}{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$4 \int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{1 - \cos (2 t)}{2} d t$

단계 5

$\frac{1}{2}$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$4 (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - \cos (2 t) d t)$

단계 6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$\frac{1}{2}$ 와 $4$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{2} \int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - \cos (2 t) d t$

단계 6.2

$4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - \cos (2 t) d t$

단계 6.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - \cos (2 t) d t$

단계 6.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - \cos (2 t) d t$

단계 6.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2}{1} \int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - \cos (2 t) d t$

단계 6.2.2.4

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - \cos (2 t) d t$

단계 7

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$2 (\int_{0}^{\frac{π}{6}} d t + \int_{0}^{\frac{π}{6}} - \cos (2 t) d t)$

단계 8

상수 규칙을 적용합니다.

$2 (t]_{0}^{\frac{π}{6}} + \int_{0}^{\frac{π}{6}} - \cos (2 t) d t)$

단계 9

$- 1$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 (t]_{0}^{\frac{π}{6}} - \int_{0}^{\frac{π}{6}} \cos (2 t) d t)$

단계 10

먼저 $u = 2 t$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 d t$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$u = 2 t$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d t}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1.1

$2 t$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [2 t]$

단계 10.1.2

$2$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $2 t$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d t} [t]$

단계 10.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 10.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 10.2

$u = 2 t$ 의 $t$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

단계 10.3

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 0$

단계 10.4

$u = 2 t$ 의 $t$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{6}$

단계 10.5

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.5.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (3)}$

단계 10.5.2

공약수로 약분합니다.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 3}$

단계 10.5.3

수식을 다시 씁니다.

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

단계 10.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

단계 10.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$2 (t]_{0}^{\frac{π}{6}} - \int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

단계 11

$\cos (u)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$2 (t]_{0}^{\frac{π}{6}} - \int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

단계 12

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 (t]_{0}^{\frac{π}{6}} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (u) d u))$

단계 13

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\sin (u)$ 입니다.

$2 (t]_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{3}})$

단계 14

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

$\frac{π}{6}$ , $0$ 일 때, $t$ 값을 계산합니다.

$2 ((\frac{π}{6}) + 0 - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{3}})$

단계 14.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.2.1

$\frac{π}{3}$ , $0$ 일 때, $\sin (u)$ 값을 계산합니다.

$2 ((\frac{π}{6}) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (\frac{π}{3})) - \sin (0)))$

단계 14.2.2

$\frac{π}{6}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 (\frac{π}{6} - \frac{1}{2} ((\sin (\frac{π}{3})) - \sin (0)))$

단계 14.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.3.1

$\sin (\frac{π}{3})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 입니다.

$2 (\frac{π}{6} - \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (0)))$

단계 14.3.2

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$2 (\frac{π}{6} - \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - 0))$

단계 14.3.3

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{π}{6} - \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} + 0))$

단계 14.3.4

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 (\frac{π}{6} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})$

단계 14.3.5

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 2})$

단계 14.3.6

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4})$

단계 14.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2 \frac{π}{6} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{4})$

단계 14.4.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.4.2.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 \frac{π}{2 (3)} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{4})$

단계 14.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$2 \frac{π}{2 \cdot 3} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{4})$

단계 14.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{π}{3} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{4})$

단계 14.4.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.4.3.1

$- \frac{\sqrt{3}}{4}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{π}{3} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{4}$

단계 14.4.3.2

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{π}{3} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2 (2)}$

단계 14.4.3.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{π}{3} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

단계 14.4.3.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{π}{3} + \frac{- \sqrt{3}}{2}$

단계 14.4.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

단계 15

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

소수 형태:

$0.18117214 \dots$