미적분 예제

$\int_{1}^{3} \frac{{(1 + \ln (x))}^{3}}{x} d x$

단계 1

먼저 $u = 1 + \ln (x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \frac{1}{x} d x$ 이므로 $x d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = 1 + \ln (x)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$1 + \ln (x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [1 + \ln (x)]$

단계 1.1.2

미분합니다.

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단계 1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $1 + \ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

단계 1.1.2.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

단계 1.1.3

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$0 + \frac{1}{x}$

단계 1.1.4

$0$ 를 $\frac{1}{x}$ 에 더합니다.

$\frac{1}{x}$

단계 1.2

$u = 1 + \ln (x)$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 1 + \ln (1)$

단계 1.3

간단히 합니다.

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단계 1.3.1

$1$ 의 자연로그값은 $0$ 입니다.

$u_{lower} = 1 + 0$

단계 1.3.2

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$u_{lower} = 1$

단계 1.4

$u = 1 + \ln (x)$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 1 + \ln (3)$

단계 1.5

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 1 + \ln (3)$

단계 1.6

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{1}^{1 + \ln (3)} u^{3} d u$

단계 2

멱의 법칙에 의해 $u^{3}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} u^{4}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{4} u^{4}]_{1}^{1 + \ln (3)}$

단계 3

대입하여 간단히 합니다.

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단계 3.1

$1 + \ln (3)$ , $1$ 일 때, $\frac{1}{4} u^{4}$ 값을 계산합니다.

$(\frac{1}{4} {(1 + \ln (3))}^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 1^{4}$

단계 3.2

간단히 합니다.

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단계 3.2.1

$\frac{1}{4}$ 와 ${(1 + \ln (3))}^{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{{(1 + \ln (3))}^{4}}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4}$

단계 3.2.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{{(1 + \ln (3))}^{4}}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1$

단계 3.2.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{{(1 + \ln (3))}^{4}}{4} - \frac{1}{4}$

단계 3.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{{(1 + \ln (3))}^{4} - 1}{4}$

단계 4

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{{(1 + \ln (3))}^{4} - 1}{4}$

소수 형태:

$4.59918613 \dots$