미적분 예제

$\frac{6}{x^{3}} - 4 e^{2 x} + 7$

단계 1

$\frac{6}{x^{3}} - 4 e^{2 x} + 7$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = \frac{6}{x^{3}} - 4 e^{2 x} + 7$

단계 2

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 3

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int \frac{6}{x^{3}} - 4 e^{2 x} + 7 d x$

단계 4

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int \frac{6}{x^{3}} d x + \int - 4 e^{2 x} d x + \int 7 d x$

단계 5

$6$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $6$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$6 \int \frac{1}{x^{3}} d x + \int - 4 e^{2 x} d x + \int 7 d x$

단계 6

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 6.1

$x^{3}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$6 \int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int - 4 e^{2 x} d x + \int 7 d x$

단계 6.2

${(x^{3})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 6.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$6 \int x^{3 \cdot - 1} d x + \int - 4 e^{2 x} d x + \int 7 d x$

단계 6.2.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$6 \int x^{- 3} d x + \int - 4 e^{2 x} d x + \int 7 d x$

단계 7

멱의 법칙에 의해 $x^{- 3}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ 가 됩니다.

$6 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int - 4 e^{2 x} d x + \int 7 d x$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

$x^{- 2}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$6 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int - 4 e^{2 x} d x + \int 7 d x$

단계 8.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- 2}$ 를 분모로 이동합니다.

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int - 4 e^{2 x} d x + \int 7 d x$

단계 9

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 4 \int e^{2 x} d x + \int 7 d x$

단계 10

먼저 $u = 2 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 10.1

$u = 2 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 10.1.1

$2 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

단계 10.1.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 10.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 10.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 10.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 4 \int e^{u} \frac{1}{2} d u + \int 7 d x$

단계 11

$e^{u}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 4 \int \frac{e^{u}}{2} d u + \int 7 d x$

단계 12

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 4 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u) + \int 7 d x$

단계 13

간단히 합니다.

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단계 13.1

$\frac{1}{2}$ 와 $- 4$ 을 묶습니다.

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \frac{- 4}{2} \int e^{u} d u + \int 7 d x$

단계 13.2

$- 4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 13.2.1

$- 4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \frac{2 \cdot - 2}{2} \int e^{u} d u + \int 7 d x$

단계 13.2.2

공약수로 약분합니다.

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단계 13.2.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int e^{u} d u + \int 7 d x$

단계 13.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int e^{u} d u + \int 7 d x$

단계 13.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \frac{- 2}{1} \int e^{u} d u + \int 7 d x$

단계 13.2.2.4

$- 2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 2 \int e^{u} d u + \int 7 d x$

단계 14

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 2 (e^{u} + C) + \int 7 d x$

단계 15

상수 규칙을 적용합니다.

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 2 (e^{u} + C) + 7 x + C$

단계 16

간단히 합니다.

$- \frac{3}{x^{2}} - 2 e^{u} + 7 x + C$

단계 17

$u$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$- \frac{3}{x^{2}} - 2 e^{2 x} + 7 x + C$

단계 18

답은 함수 $f (x) = \frac{6}{x^{3}} - 4 e^{2 x} + 7$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $- \frac{3}{x^{2}} - 2 e^{2 x} + 7 x + C$