미적분 예제

$y = 3 x^{3} - x - 3$

단계 1

$y = 3 x^{3} - x - 3$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = 3 x^{3} - x - 3$

단계 2

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $3 x^{3} - x - 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{3}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

단계 2.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

단계 2.2.3

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [- x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$9 x^{2} - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

단계 2.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$9 x^{2} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

단계 2.3.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$9 x^{2} - 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

단계 2.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$- 3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 3$ 입니다.

$9 x^{2} - 1 + 0$

단계 2.4.2

$9 x^{2} - 1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$9 x^{2} - 1$

단계 3

1차 도함수를 $0$ 으로 두고 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$9 x^{2} = 1$

단계 3.2

$9 x^{2} = 1$ 의 각 항을 $9$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$9 x^{2} = 1$ 의 각 항을 $9$ 로 나눕니다.

$\frac{9 x^{2}}{9} = \frac{1}{9}$

단계 3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$9$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{9 x^{2}}{9} = \frac{1}{9}$

단계 3.2.2.1.2

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} = \frac{1}{9}$

단계 3.3

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{9}}$

단계 3.4

$\pm \sqrt{\frac{1}{9}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$\sqrt{\frac{1}{9}}$ 을 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$

단계 3.4.2

$1$ 의 거듭제곱근은 $1$ 입니다.

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{9}}$

단계 3.4.3

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.1

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3^{2}}}$

단계 3.4.3.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm \frac{1}{3}$

단계 3.5

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = \frac{1}{3}$

단계 3.5.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - \frac{1}{3}$

단계 3.5.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = \frac{1}{3}, - \frac{1}{3}$

단계 4

1차 미분값이 $0$ 또는 정의되지 않게 하는 $x$ 값 주변 구간으로 $(- \infty, \infty)$ 을 나눕니다.

$(- \infty, - \frac{1}{3}) \cup (- \frac{1}{3}, \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}, \infty)$

단계 5

1차 도함수 $9 x^{2} - 1$ 의 $(- \infty, - \frac{1}{3})$ 구간에서 $- 3$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 3$ 을 대입합니다.

$f' (- 3) = 9 {(- 3)}^{2} - 1$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

$- 3$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (- 3) = 9 \cdot 9 - 1$

단계 5.2.1.2

$9$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$f' (- 3) = 81 - 1$

단계 5.2.2

$81$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f' (- 3) = 80$

단계 5.2.3

최종 답은 $80$ 입니다.

$80$

단계 6

1차 도함수 $9 x^{2} - 1$ 의 $(- \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ 구간에서 $0$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f' (0) = 9 {(0)}^{2} - 1$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f' (0) = 9 \cdot 0 - 1$

단계 6.2.1.2

$9$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f' (0) = 0 - 1$

단계 6.2.2

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f' (0) = - 1$

단계 6.2.3

최종 답은 $- 1$ 입니다.

$- 1$

단계 7

1차 도함수 $9 x^{2} - 1$ 의 $(\frac{1}{3}, \infty)$ 구간에서 $3$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $3$ 을 대입합니다.

$f' (3) = 9 {(3)}^{2} - 1$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (3) = 9 \cdot 9 - 1$

단계 7.2.1.2

$9$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$f' (3) = 81 - 1$

단계 7.2.2

$81$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f' (3) = 80$

단계 7.2.3

최종 답은 $80$ 입니다.

$80$

단계 8

1차 도함수의 부호가 $x = - \frac{1}{3}$ 근처에서 양수에서 음수로 변경되었으므로 $x = - \frac{1}{3}$ 은 전환점입니다.

단계 9

$- \frac{1}{3}$ 의 y좌표를 구해서 전환점을 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$- \frac{1}{3}$ 의 y좌표를 구해서 $f (- \frac{1}{3})$ 를 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- \frac{1}{3}$ 을 대입합니다.

$f (- \frac{1}{3}) = 3 {(- \frac{1}{3})}^{3} - (- \frac{1}{3}) - 3$

단계 9.1.2

$3 {(- \frac{1}{3})}^{3} - (- \frac{1}{3}) - 3$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.2.1

괄호를 제거합니다.

$3 {(- \frac{1}{3})}^{3} - (- \frac{1}{3}) - 3$

단계 9.1.2.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.2.2.1

지수 법칙 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 을 이용하여 지수를 분배합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.2.2.1.1

$- \frac{1}{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$3 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{3})}^{3}) - (- \frac{1}{3}) - 3$

단계 9.1.2.2.1.2

$\frac{1}{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$3 ({(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{3^{3}}) - (- \frac{1}{3}) - 3$

단계 9.1.2.2.2

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$3 (- \frac{1^{3}}{3^{3}}) - (- \frac{1}{3}) - 3$

단계 9.1.2.2.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$3 (- \frac{1}{3^{3}}) - (- \frac{1}{3}) - 3$

단계 9.1.2.2.4

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$3 (- \frac{1}{27}) - (- \frac{1}{3}) - 3$

단계 9.1.2.2.5

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.2.2.5.1

$- \frac{1}{27}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$3 (\frac{- 1}{27}) - (- \frac{1}{3}) - 3$

단계 9.1.2.2.5.2

$27$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$3 \frac{- 1}{3 (9)} - (- \frac{1}{3}) - 3$

단계 9.1.2.2.5.3

공약수로 약분합니다.

$3 \frac{- 1}{3 \cdot 9} - (- \frac{1}{3}) - 3$

단계 9.1.2.2.5.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 1}{9} - (- \frac{1}{3}) - 3$

단계 9.1.2.2.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{9} - (- \frac{1}{3}) - 3$

단계 9.1.2.2.7

$- (- \frac{1}{3})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.2.2.7.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{9} + 1 (\frac{1}{3}) - 3$

단계 9.1.2.2.7.2

$\frac{1}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{9} + \frac{1}{3} - 3$

단계 9.1.2.3

공통분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.2.3.1

$\frac{1}{3}$ 에 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{9} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{3} - 3$

단계 9.1.2.3.2

$\frac{1}{3}$ 에 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{9} + \frac{3}{3 \cdot 3} - 3$

단계 9.1.2.3.3

$- 3$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$- \frac{1}{9} + \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{- 3}{1}$

단계 9.1.2.3.4

$\frac{- 3}{1}$ 에 $\frac{9}{9}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{9} + \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{9}{9}$

단계 9.1.2.3.5

$\frac{- 3}{1}$ 에 $\frac{9}{9}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{9} + \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{- 3 \cdot 9}{9}$

단계 9.1.2.3.6

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{9} + \frac{3}{9} + \frac{- 3 \cdot 9}{9}$

단계 9.1.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- 1 + 3 - 3 \cdot 9}{9}$

단계 9.1.2.5

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.2.5.1

$- 3$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$\frac{- 1 + 3 - 27}{9}$

단계 9.1.2.5.2

$- 1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\frac{2 - 27}{9}$

단계 9.1.2.5.3

$2$ 에서 $27$ 을 뺍니다.

$\frac{- 25}{9}$

단계 9.1.2.5.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{25}{9}$

단계 9.2

$x$ 및 $y$ 좌표를 점 형태로 다시 씁니다.

$(- \frac{1}{3}, - \frac{25}{9})$

단계 10

1차 도함수의 부호가 $x = \frac{1}{3}$ 근처에서 음수에서 양수로 변경되었으므로 $x = \frac{1}{3}$ 은 전환점입니다.

단계 11

$\frac{1}{3}$ 의 y좌표를 구해서 전환점을 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$\frac{1}{3}$ 의 y좌표를 구해서 $f (\frac{1}{3})$ 를 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\frac{1}{3}$ 을 대입합니다.

$f (\frac{1}{3}) = 3 {(\frac{1}{3})}^{3} - (\frac{1}{3}) - 3$

단계 11.1.2

$3 {(\frac{1}{3})}^{3} - (\frac{1}{3}) - 3$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1.2.1

괄호를 제거합니다.

$3 {(\frac{1}{3})}^{3} - (\frac{1}{3}) - 3$

단계 11.1.2.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1.2.2.1

$\frac{1}{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$3 \frac{1^{3}}{3^{3}} - (\frac{1}{3}) - 3$

단계 11.1.2.2.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$3 \frac{1}{3^{3}} - (\frac{1}{3}) - 3$

단계 11.1.2.2.3

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$3 (\frac{1}{27}) - (\frac{1}{3}) - 3$

단계 11.1.2.2.4

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1.2.2.4.1

$27$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$3 \frac{1}{3 (9)} - (\frac{1}{3}) - 3$

단계 11.1.2.2.4.2

공약수로 약분합니다.

$3 \frac{1}{3 \cdot 9} - (\frac{1}{3}) - 3$

단계 11.1.2.2.4.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{9} - (\frac{1}{3}) - 3$

$\frac{1}{9} - \frac{1}{3} - 3$

단계 11.1.2.3

공통분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1.2.3.1

$\frac{1}{3}$ 에 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{9} - (\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{3}) - 3$

단계 11.1.2.3.2

$\frac{1}{3}$ 에 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{9} - \frac{3}{3 \cdot 3} - 3$

단계 11.1.2.3.3

$- 3$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$\frac{1}{9} - \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{- 3}{1}$

단계 11.1.2.3.4

$\frac{- 3}{1}$ 에 $\frac{9}{9}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{9} - \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{9}{9}$

단계 11.1.2.3.5

$\frac{- 3}{1}$ 에 $\frac{9}{9}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{9} - \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{- 3 \cdot 9}{9}$

단계 11.1.2.3.6

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{9} - \frac{3}{9} + \frac{- 3 \cdot 9}{9}$

단계 11.1.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1 - 3 - 3 \cdot 9}{9}$

단계 11.1.2.5

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1.2.5.1

$- 3$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$\frac{1 - 3 - 27}{9}$

단계 11.1.2.5.2

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{- 2 - 27}{9}$

단계 11.1.2.5.3

$- 2$ 에서 $27$ 을 뺍니다.

$\frac{- 29}{9}$

단계 11.1.2.5.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{29}{9}$

단계 11.2

$x$ 및 $y$ 좌표를 점 형태로 다시 씁니다.

$(\frac{1}{3}, - \frac{29}{9})$

단계 12

이것이 전환점입니다.

$(- \frac{1}{3}, - \frac{25}{9})$

$(\frac{1}{3}, - \frac{29}{9})$

단계 13