미적분 예제

$2^{\sqrt{x}} \cdot \frac{\ln (2)}{\sqrt{x}}$

단계 1

$2^{\sqrt{x}} \cdot \frac{\ln (2)}{\sqrt{x}}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = 2^{\sqrt{x}} \cdot \frac{\ln (2)}{\sqrt{x}}$

단계 2

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 3

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int 2^{\sqrt{x}} \cdot \frac{\ln (2)}{\sqrt{x}} d x$

단계 4

$2^{\sqrt{x}}$ 와 $\frac{\ln (2)}{\sqrt{x}}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{2^{\sqrt{x}} \ln (2)}{\sqrt{x}} d x$

단계 5

$\ln (2)$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\ln (2)$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\ln (2) \int \frac{2^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x$

단계 6

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\ln (2) \int \frac{2^{x^{\frac{1}{2}}}}{\sqrt{x}} d x$

단계 6.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\ln (2) \int \frac{2^{x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

단계 6.3

$x^{\frac{1}{2}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\ln (2) \int 2^{x^{\frac{1}{2}}} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

단계 6.4

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 6.4.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\ln (2) \int 2^{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

단계 6.4.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\ln (2) \int 2^{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

단계 6.4.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\ln (2) \int 2^{x^{\frac{1}{2}}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 7

먼저 $u_{1} = x^{\frac{1}{2}}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ 이므로 $- d u_{1} = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 7.1

$u_{1} = x^{\frac{1}{2}}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 7.1.1

$x^{\frac{1}{2}}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

단계 7.1.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

단계 7.1.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

단계 7.1.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

단계 7.1.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

단계 7.1.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.1.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

단계 7.1.6.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

단계 7.1.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

단계 7.1.8

간단히 합니다.

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단계 7.1.8.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

단계 7.1.8.2

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 7.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\ln (2) \int 2 \cdot 2^{u_{1}} d u_{1}$

단계 8

$2$ 에 $2^{u_{1}}$ 을 곱합니다.

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단계 8.1

$2$ 를 $1$ 승 합니다.

$\ln (2) \int 2^{1} \cdot 2^{u_{1}} d u_{1}$

단계 8.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\ln (2) \int 2^{1 + u_{1}} d u_{1}$

단계 9

먼저 $u_{2} = 1 + u_{1}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = d u_{1}$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 9.1

$u_{2} = 1 + u_{1}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 를 구합니다.

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단계 9.1.1

$1 + u_{1}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [1 + u_{1}]$

단계 9.1.2

합의 법칙에 의해 $1 + u_{1}$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

단계 9.1.3

$1$ 이 $u_{1}$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

단계 9.1.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 1$

단계 9.1.5

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$1$

단계 9.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\ln (2) \int 2^{u_{2}} d u_{2}$

단계 10

$2^{u_{2}}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\frac{2^{u_{2}}}{\ln (2)}$ 입니다.

$\ln (2) (\frac{2^{u_{2}}}{\ln (2)} + C)$

단계 11

간단히 합니다.

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단계 11.1

$\ln (2) (\frac{2^{u_{2}}}{\ln (2)} + C)$ 을 $\ln (2) \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u_{2}} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$\ln (2) \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u_{2}} + C$

단계 11.2

간단히 합니다.

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단계 11.2.1

$\ln (2)$ 와 $\frac{1}{\ln (2)}$ 을 묶습니다.

$\frac{\ln (2)}{\ln (2)} \cdot 2^{u_{2}} + C$

단계 11.2.2

$\ln (2)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\ln (2)}{\ln (2)} \cdot 2^{u_{2}} + C$

단계 11.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$1 \cdot 2^{u_{2}} + C$

단계 11.2.3

$2^{u_{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2^{u_{2}} + C$

단계 12

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

$u_{2}$ 를 모두 $1 + u_{1}$ 로 바꿉니다.

$2^{1 + u_{1}} + C$

단계 12.2

$u_{1}$ 를 모두 $x^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$2^{1 + x^{\frac{1}{2}}} + C$

단계 13

답은 함수 $f (x) = 2^{\sqrt{x}} \cdot \frac{\ln (2)}{\sqrt{x}}$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $2^{1 + x^{\frac{1}{2}}} + C$