미적분 예제

$\int_{1}^{2} \frac{e^{2 x^{- 2}}}{x^{3}} d x$

단계 1

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$x^{3}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\int_{1}^{2} e^{2 x^{- 2}} {(x^{3})}^{- 1} d x$

단계 1.2

${(x^{3})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int_{1}^{2} e^{2 x^{- 2}} x^{3 \cdot - 1} d x$

단계 1.2.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int_{1}^{2} e^{2 x^{- 2}} x^{- 3} d x$

단계 2

먼저 $u_{1} = x^{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = 2 x d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$u_{1} = x^{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$x^{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x$

단계 2.2

$u_{1} = x^{2}$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 1^{2}$

단계 2.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$u_{lower} = 1$

단계 2.4

$u_{1} = x^{2}$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 2^{2}$

단계 2.5

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$u_{upper} = 4$

단계 2.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 4$

단계 2.7

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{1}^{4} e^{2 {\sqrt{u_{1}}}^{- 2}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

${\sqrt{u_{1}}}^{- 2}$ 을 ${u_{1}}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u_{1}}$ 을(를) ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int_{1}^{4} e^{2 {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 3.1.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 2}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 3.1.3

$\frac{1}{2}$ 와 $- 2$ 을 묶습니다.

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{\frac{- 2}{2}}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 3.1.4

$- 2$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.4.1

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2}}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 3.1.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.4.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 3.1.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 3.1.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{\frac{- 1}{1}}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 3.1.4.2.4

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 3.2

${\sqrt{u_{1}}}^{- 4}$ 을 ${u_{1}}^{- 2}$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u_{1}}$ 을(를) ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 3.2.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 3.2.3

$\frac{1}{2}$ 와 $- 4$ 을 묶습니다.

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{\frac{- 4}{2}} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 3.2.4

$- 4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.4.1

$- 4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{\frac{2 \cdot - 2}{2}} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 3.2.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.4.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{\frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 3.2.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 3.2.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{\frac{- 2}{1}} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 3.2.4.2.4

$- 2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{- 2} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 3.3

$\frac{1}{2}$ 와 $e^{2 {u_{1}}^{- 1}}$ 을 묶습니다.

$\int_{1}^{4} \frac{e^{2 {u_{1}}^{- 1}}}{2} {u_{1}}^{- 2} d u_{1}$

단계 3.4

$\frac{e^{2 {u_{1}}^{- 1}}}{2}$ 와 ${u_{1}}^{- 2}$ 을 묶습니다.

$\int_{1}^{4} \frac{e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{- 2}}{2} d u_{1}$

단계 3.5

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${u_{1}}^{- 2}$ 를 분모로 이동합니다.

$\int_{1}^{4} \frac{e^{2 {u_{1}}^{- 1}}}{2 {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

단계 4

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{4} \frac{e^{2 {u_{1}}^{- 1}}}{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

단계 5

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

${u_{1}}^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1}$

단계 5.2

${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1}$

단계 5.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{- 2} d u_{1}$

단계 6

먼저 $u_{2} = 2 {u_{1}}^{- 1}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = - \frac{2}{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$ 이므로 $1 d u_{2} = - \frac{2}{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$u_{2} = 2 {u_{1}}^{- 1}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

$2 {u_{1}}^{- 1}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [2 {u_{1}}^{- 1}]$

단계 6.1.2

$2$ 은 $u_{1}$ 에 대해 일정하므로 $u_{1}$ 에 대한 $2 {u_{1}}^{- 1}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}]$

단계 6.1.3

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (- {u_{1}}^{- 2})$

단계 6.1.4

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 2 {u_{1}}^{- 2}$

단계 6.1.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.5.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- 2 \frac{1}{{u_{1}}^{2}}$

단계 6.1.5.2

$- 2$ 와 $\frac{1}{{u_{1}}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2}{{u_{1}}^{2}}$

단계 6.1.5.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{2}{{u_{1}}^{2}}$

단계 6.2

$u_{2} = 2 {u_{1}}^{- 1}$ 의 $u_{1}$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 2 \cdot 1^{- 1}$

단계 6.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$u_{lower} = 2 \cdot \frac{1}{1}$

단계 6.3.2

$1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1

공약수로 약분합니다.

$u_{lower} = 2 \cdot \frac{1}{1}$

단계 6.3.2.2

수식을 다시 씁니다.

$u_{lower} = 2 \cdot 1$

단계 6.3.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 2$

단계 6.4

$u_{2} = 2 {u_{1}}^{- 1}$ 의 $u_{1}$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 2 \cdot 4^{- 1}$

단계 6.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$u_{upper} = 2 \cdot \frac{1}{4}$

단계 6.5.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$u_{upper} = 2 \cdot \frac{1}{2 (2)}$

단계 6.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$u_{upper} = 2 \cdot \frac{1}{2 \cdot 2}$

단계 6.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

단계 6.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

단계 6.7

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} \int_{2}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} e^{u_{2}} d u_{2}$

단계 7

$- \frac{1}{2}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $- \frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \int_{2}^{\frac{1}{2}} e^{u_{2}} d u_{2})$

단계 8

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{2}^{\frac{1}{2}} e^{u_{2}} d u_{2}$

단계 8.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{4} \int_{2}^{\frac{1}{2}} e^{u_{2}} d u_{2}$

단계 9

$e^{u_{2}}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $e^{u_{2}}$ 입니다.

$- \frac{1}{4} e^{u_{2}}]_{2}^{\frac{1}{2}}$

단계 10

$\frac{1}{2}$ , $2$ 일 때, $e^{u_{2}}$ 값을 계산합니다.

$- \frac{1}{4} (e^{\frac{1}{2}} - e^{2})$

단계 11

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- \frac{1}{4} e^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} (- e^{2})$

단계 11.2

$e^{\frac{1}{2}}$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$- \frac{e^{\frac{1}{2}}}{4} - \frac{1}{4} (- e^{2})$

단계 11.3

$- \frac{1}{4} (- e^{2})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{e^{\frac{1}{2}}}{4} + 1 (\frac{1}{4}) e^{2}$

단계 11.3.2

$\frac{1}{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{e^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{1}{4} e^{2}$

단계 11.3.3

$\frac{1}{4}$ 와 $e^{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{e^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{e^{2}}{4}$

단계 12

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$- \frac{e^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{e^{2}}{4}$

소수 형태:

$1.43508370 \dots$

단계 13