미적분 예제

$(x + 1) (x + 2) (x + 3)$

단계 1

$(x + 1) (x + 2) (x + 3)$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = (x + 1) (x + 2) (x + 3)$

단계 2

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 3

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int (x + 1) (x + 2) (x + 3) d x$

단계 4

먼저 $u = x + 3$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$u = x + 3$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$x + 3$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

단계 4.1.2

합의 법칙에 의해 $x + 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

단계 4.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

단계 4.1.4

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$1 + 0$

단계 4.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 4.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int (u - 3 + 1) (u - 3 + 2) u d u$

단계 5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$- 3$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\int (u - 2) (u - 3 + 2) u d u$

단계 5.2

$- 3$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\int (u - 2) (u - 1) u d u$

단계 6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\int (u (u - 1) - 2 (u - 1)) u d u$

단계 6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1 - 2 (u - 1)) u d u$

단계 6.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1 - 2 u - 2 \cdot - 1) u d u$

단계 6.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1) u + (- 2 u - 2 \cdot - 1) u d u$

단계 6.5

분배 법칙을 적용합니다.

$\int u \cdot u \cdot u + u \cdot - 1 u + (- 2 u - 2 \cdot - 1) u d u$

단계 6.6

분배 법칙을 적용합니다.

$\int u \cdot u \cdot u + u \cdot - 1 u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

단계 6.7

$u$ 와 $- 1$ 을 다시 정렬합니다.

$\int u \cdot u \cdot u - 1 \cdot u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

단계 6.8

$u$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int u^{1} u \cdot u - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

단계 6.9

$u$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int u^{1} u^{1} u - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

단계 6.10

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int u^{1 + 1} u - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

단계 6.11

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\int u^{2} u - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

단계 6.12

$u$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int u^{2} u^{1} - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

단계 6.13

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int u^{2 + 1} - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

단계 6.14

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\int u^{3} - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

단계 6.15

마이너스 부호를 앞으로 보냅니다.

$\int u^{3} - (u \cdot u) - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

단계 6.16

$u$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int u^{3} - (u^{1} u) - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

단계 6.17

$u$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int u^{3} - (u^{1} u^{1}) - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

단계 6.18

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int u^{3} - u^{1 + 1} - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

단계 6.19

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\int u^{3} - u^{2} - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

단계 6.20

$u$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int u^{3} - u^{2} - 2 (u^{1} u) - 2 \cdot - 1 u d u$

단계 6.21

$u$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int u^{3} - u^{2} - 2 (u^{1} u^{1}) - 2 \cdot - 1 u d u$

단계 6.22

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int u^{3} - u^{2} - 2 u^{1 + 1} - 2 \cdot - 1 u d u$

단계 6.23

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\int u^{3} - u^{2} - 2 u^{2} - 2 \cdot - 1 u d u$

단계 6.24

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int u^{3} - u^{2} - 2 u^{2} + 2 u d u$

단계 6.25

$- u^{2}$ 에서 $2 u^{2}$ 을 뺍니다.

$\int u^{3} - 3 u^{2} + 2 u d u$

단계 7

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int u^{3} d u + \int - 3 u^{2} d u + \int 2 u d u$

단계 8

멱의 법칙에 의해 $u^{3}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} u^{4}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{4} u^{4} + C + \int - 3 u^{2} d u + \int 2 u d u$

단계 9

$- 3$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 3 \int u^{2} d u + \int 2 u d u$

단계 10

멱의 법칙에 의해 $u^{2}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} u^{3}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int 2 u d u$

단계 11

$2$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + 2 \int u d u$

단계 12

멱의 법칙에 의해 $u$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} u^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + 2 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

단계 13

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

간단히 합니다.

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + 2 (\frac{1}{2} u^{2}) + C$

단계 13.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.1

$\frac{1}{2}$ 와 $u^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + 2 \frac{u^{2}}{2} + C$

단계 13.2.2

$2$ 와 $\frac{u^{2}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + \frac{2 u^{2}}{2} + C$

단계 13.2.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + \frac{2 u^{2}}{2} + C$

단계 13.2.3.2

$u^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + u^{2} + C$

단계 14

$u$ 를 모두 $x + 3$ 로 바꿉니다.

$\frac{{(x + 3)}^{4}}{4} - {(x + 3)}^{3} + {(x + 3)}^{2} + C$

단계 15

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{4} {(x + 3)}^{4} - {(x + 3)}^{3} + {(x + 3)}^{2} + C$

단계 16

답은 함수 $f (x) = (x + 1) (x + 2) (x + 3)$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $\frac{1}{4} {(x + 3)}^{4} - {(x + 3)}^{3} + {(x + 3)}^{2} + C$