미적분 예제

$z = {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{3}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (z) = \frac{d}{d x} ({(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{3})$

단계 2

$z$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $z'$ 입니다.

$z'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = 2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}}]$

단계 3.1.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}}]$

단계 3.1.3

$u$ 를 모두 $2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$3 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}}]$

단계 3.2

미분합니다.

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단계 3.2.1

합의 법칙에 의해 $2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ 가 됩니다.

$3 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}])$

단계 3.2.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{\frac{1}{3}}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ 입니다.

$3 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2} (2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}])$

단계 3.2.3

$n = \frac{1}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2} (2 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}])$

단계 3.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$3 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2} (2 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}])$

단계 3.4

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$3 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2} (2 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}])$

단계 3.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$3 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2} (2 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}])$

단계 3.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.6.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$3 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2} (2 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}])$

단계 3.6.2

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$3 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2} (2 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}])$

단계 3.7

분수를 통분합니다.

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단계 3.7.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$3 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2} (2 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}])$

단계 3.7.2

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{- \frac{2}{3}}$ 을 묶습니다.

$3 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2} (2 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}])$

단계 3.7.3

$2$ 와 $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ 을 묶습니다.

$3 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{2 x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}])$

단계 3.7.4

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{2}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$3 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}])$

단계 3.8

$y^{\frac{1}{2}}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $y^{\frac{1}{2}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y^{\frac{1}{2}}$ 입니다.

$3 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 0)$

단계 3.9

항을 간단히 합니다.

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단계 3.9.1

$\frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

단계 3.9.2

$\frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 와 $3$ 을 묶습니다.

$\frac{2 \cdot 3}{3 x^{\frac{2}{3}}} {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2}$

단계 3.9.3

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{6}{3 x^{\frac{2}{3}}} {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2}$

단계 3.9.4

$\frac{6}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 와 ${(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{6 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

단계 3.9.5

$6 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (2 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

단계 3.10

공약수로 약분합니다.

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단계 3.10.1

$3 x^{\frac{2}{3}}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (2 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2})}{3 (x^{\frac{2}{3}})}$

단계 3.10.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 (2 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

단계 3.10.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2 {(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2}}{x^{\frac{2}{3}}}$

단계 3.11

간단히 합니다.

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단계 3.11.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.11.1.1

${(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 을 $(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}}) (2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 ((2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}}) (2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}}))}{x^{\frac{2}{3}}}$

단계 3.11.1.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}}) (2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}})$ 를 전개합니다.

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단계 3.11.1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{3}} (2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}}) + y^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}}))}{x^{\frac{2}{3}}}$

단계 3.11.1.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{3}} (2 x^{\frac{1}{3}}) + 2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}}))}{x^{\frac{2}{3}}}$

단계 3.11.1.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{3}} (2 x^{\frac{1}{3}}) + 2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{3}}) + y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

단계 3.11.1.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 3.11.1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.11.1.3.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{2 (2 \cdot 2 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{3}}) + y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

단계 3.11.1.3.1.2

지수를 더하여 $x^{\frac{1}{3}}$ 에 $x^{\frac{1}{3}}$ 을 곱합니다.

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단계 3.11.1.3.1.2.1

$x^{\frac{1}{3}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 (2 \cdot 2 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}) + 2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{3}}) + y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

단계 3.11.1.3.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 (2 \cdot 2 x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{3}}) + y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

단계 3.11.1.3.1.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2 (2 \cdot 2 x^{\frac{1 + 1}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{3}}) + y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

단계 3.11.1.3.1.2.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{2 (2 \cdot 2 x^{\frac{2}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{3}}) + y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

단계 3.11.1.3.1.3

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (4 x^{\frac{2}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{3}}) + y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

단계 3.11.1.3.1.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{2 (4 x^{\frac{2}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

단계 3.11.1.3.1.5

지수를 더하여 $y^{\frac{1}{2}}$ 에 $y^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 3.11.1.3.1.5.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 (4 x^{\frac{2}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

단계 3.11.1.3.1.5.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2 (4 x^{\frac{2}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1 + 1}{2}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

단계 3.11.1.3.1.5.3

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{2 (4 x^{\frac{2}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{2}{2}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

단계 3.11.1.3.1.5.4

$2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 (4 x^{\frac{2}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{3}} + y^{1})}{x^{\frac{2}{3}}}$

단계 3.11.1.3.1.6

$y^{1}$ 을 간단히 합니다.

$\frac{2 (4 x^{\frac{2}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{3}} + y)}{x^{\frac{2}{3}}}$

단계 3.11.1.3.2

$2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}}$ 를 $2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{3}}$ 에 더합니다.

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단계 3.11.1.3.2.1

$y^{\frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 (4 x^{\frac{2}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + y)}{x^{\frac{2}{3}}}$

단계 3.11.1.3.2.2

$2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}}$ 를 $2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}}$ 에 더합니다.

$\frac{2 (4 x^{\frac{2}{3}} + 4 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + y)}{x^{\frac{2}{3}}}$

단계 3.11.1.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 (4 x^{\frac{2}{3}}) + 2 (4 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}}) + 2 y}{x^{\frac{2}{3}}}$

단계 3.11.1.5

간단히 합니다.

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단계 3.11.1.5.1

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{8 x^{\frac{2}{3}} + 2 (4 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}}) + 2 y}{x^{\frac{2}{3}}}$

단계 3.11.1.5.2

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{8 x^{\frac{2}{3}} + 8 (x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}}) + 2 y}{x^{\frac{2}{3}}}$

$\frac{8 x^{\frac{2}{3}} + 8 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + 2 y}{x^{\frac{2}{3}}}$

단계 3.11.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{8 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + 2 y + 8 x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$z' = \frac{8 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + 2 y + 8 x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$

단계 5

$z'$ 에 $\frac{d z}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d z}{d x} = \frac{8 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + 2 y + 8 x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$