미적분 예제

$y = x e^{- x^{2}}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$f (x) = x$ , $g (x) = e^{- x^{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}] + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- x^{2}$ 로 바꿉니다.

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.2.3

$u$ 를 모두 $- x^{2}$ 로 바꿉니다.

$x (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.3

미분합니다.

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단계 1.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$x (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.3.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.4

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$x^{1} x (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.5

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$x^{1} x^{1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.6

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$x^{1 + 1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.7

식을 간단히 합니다.

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단계 1.7.1

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.7.2

$e^{- x^{2}}$ 의 왼쪽으로 $- 2$ 이동하기

$x^{2} (- 2 \cdot e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \cdot 1$

단계 1.9

$e^{- x^{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}}$

단계 1.10

간단히 합니다.

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단계 1.10.1

항을 다시 정렬합니다.

$- 2 e^{- x^{2}} x^{2} + e^{- x^{2}}$

단계 1.10.2

$- 2 e^{- x^{2}} x^{2} + e^{- x^{2}}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f' (x) = - 2 x^{2} e^{- x^{2}} + e^{- x^{2}}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $- 2 x^{2} e^{- x^{2}} + e^{- x^{2}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2} e^{- x^{2}}] + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{2} e^{- x^{2}}] + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{2} e^{- x^{2}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x^{2} e^{- x^{2}}$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x^{2}}]$ 입니다.

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x^{2}}] + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

단계 2.2.2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = e^{- x^{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}] + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

단계 2.2.3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $- x^{2}$ 로 바꿉니다.

$- 2 (x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

단계 2.2.3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

단계 2.2.3.3

$u_{1}$ 를 모두 $- x^{2}$ 로 바꿉니다.

$- 2 (x^{2} (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

단계 2.2.4

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$- 2 (x^{2} (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

단계 2.2.5

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 (x^{2} (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

단계 2.2.6

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 (x^{2} (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

단계 2.2.7

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2 (x^{2} (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

단계 2.2.8

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 2.2.8.1

$x$ 를 옮깁니다.

$- 2 (x \cdot x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

단계 2.2.8.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 2.2.8.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 2 (x^{1} x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

단계 2.2.8.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 2 (x^{1 + 2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

단계 2.2.8.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$- 2 (x^{3} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

단계 2.2.9

$e^{- x^{2}}$ 의 왼쪽으로 $- 2$ 이동하기

$- 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $- x^{2}$ 로 바꿉니다.

$- 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

단계 2.3.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

단계 2.3.1.3

$u_{2}$ 를 모두 $- x^{2}$ 로 바꿉니다.

$- 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

단계 2.3.2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$- 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 2.3.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + e^{- x^{2}} (- (2 x))$

단계 2.3.4

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + e^{- x^{2}} (- 2 x)$

단계 2.4

간단히 합니다.

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단계 2.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}})) - 2 (e^{- x^{2}} (2 x)) + e^{- x^{2}} (- 2 x)$

단계 2.4.2

항을 묶습니다.

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단계 2.4.2.1

$- 2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$4 (x^{3} (e^{- x^{2}})) - 2 (e^{- x^{2}} (2 x)) + e^{- x^{2}} (- 2 x)$

단계 2.4.2.2

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$4 x^{3} e^{- x^{2}} - 4 (e^{- x^{2}} (x)) + e^{- x^{2}} (- 2 x)$

단계 2.4.2.3

$e^{- x^{2}}$ 를 옮깁니다.

$4 x^{3} e^{- x^{2}} - 4 x e^{- x^{2}} - 2 x e^{- x^{2}}$

단계 2.4.2.4

$- 4 x e^{- x^{2}}$ 에서 $2 x e^{- x^{2}}$ 을 뺍니다.

$4 x^{3} e^{- x^{2}} - 6 x e^{- x^{2}}$

단계 2.4.3

항을 다시 정렬합니다.

$4 e^{- x^{2}} x^{3} - 6 e^{- x^{2}} x$

단계 2.4.4

$4 e^{- x^{2}} x^{3} - 6 e^{- x^{2}} x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f'' (x) = 4 x^{3} e^{- x^{2}} - 6 x e^{- x^{2}}$