미적분 예제

$\int \frac{2 \sin (2 x)}{1 + 9 \cos^{2} (2 x)} d x$

단계 1

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 \int \frac{\sin (2 x)}{1 + 9 \cos^{2} (2 x)} d x$

단계 2

먼저 $u_{2} = \cos (2 x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = - 2 \sin (2 x) d x$ 이므로 $- \frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 x) d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$u_{2} = \cos (2 x)$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$\cos (2 x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

단계 2.1.2

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 2.1.2.2

$\cos (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u_{1})$ 입니다.

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 2.1.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 2.1.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.1.3.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.1.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 \sin (2 x) \cdot 1$

단계 2.1.3.4

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 2 \sin (2 x)$

단계 2.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$2 \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} \cdot \frac{1}{- 2} d u_{2}$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$2 \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

단계 3.2

$\frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$2 \int - \frac{1}{(1 + 9 {u_{2}}^{2}) \cdot 2} d u_{2}$

단계 3.3

$1 + 9 {u_{2}}^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 \int - \frac{1}{2 (1 + 9 {u_{2}}^{2})} d u_{2}$

단계 4

$- 1$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 (- \int \frac{1}{2 (1 + 9 {u_{2}}^{2})} d u_{2})$

단계 5

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 2 \int \frac{1}{2 (1 + 9 {u_{2}}^{2})} d u_{2}$

단계 6

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2})$

단계 7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$\frac{1}{2}$ 와 $- 2$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2}{2} \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

단계 7.2

$- 2$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

단계 7.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

단계 7.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

단계 7.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 1}{1} \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

단계 7.2.2.4

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

단계 8

$1 + 9 {u_{2}}^{2}$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$1$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$- \int \frac{1}{9 (\frac{1}{9}) + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

단계 8.2

$9 {u_{2}}^{2}$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$- \int \frac{1}{9 (\frac{1}{9}) + 9 ({u_{2}}^{2})} d u_{2}$

단계 8.3

$9 (\frac{1}{9}) + 9 ({u_{2}}^{2})$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$- \int \frac{1}{9 (\frac{1}{9} + {u_{2}}^{2})} d u_{2}$

단계 9

$\frac{1}{9}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{9}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- (\frac{1}{9} \int \frac{1}{\frac{1}{9} + {u_{2}}^{2}} d u_{2})$

단계 10

$\frac{1}{9}$ 을 ${(\frac{1}{3})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{1}{9} \int \frac{1}{{(\frac{1}{3})}^{2} + {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

단계 11

$\frac{1}{{(\frac{1}{3})}^{2} + {u_{2}}^{2}}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{\frac{1}{3}} \arctan (\frac{u_{2}}{\frac{1}{3}}) + C$ 입니다.

$- \frac{1}{9} (\frac{1}{\frac{1}{3}} \arctan (\frac{u_{2}}{\frac{1}{3}}) + C)$

단계 12

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.1

$\frac{1}{3}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$- \frac{1}{9} (1 \cdot 3 \arctan (\frac{u_{2}}{\frac{1}{3}}) + C)$

단계 12.1.2

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{9} (3 \arctan (\frac{u_{2}}{\frac{1}{3}}) + C)$

단계 12.1.3

$\frac{1}{3}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$- \frac{1}{9} (3 \arctan (u_{2} \cdot 3) + C)$

단계 12.1.4

$u_{2}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$- \frac{1}{9} (3 \arctan (3 u_{2}) + C)$

단계 12.2

$- \frac{1}{9} (3 \arctan (3 u_{2}) + C)$ 을 $- \frac{1}{9} \cdot 3 \arctan (3 u_{2}) + C$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{1}{9} \cdot 3 \arctan (3 u_{2}) + C$

단계 12.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.3.1

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 3 (\frac{1}{9}) \arctan (3 u_{2}) + C$

단계 12.3.2

$- 3$ 와 $\frac{1}{9}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 3}{9} \arctan (3 u_{2}) + C$

단계 12.3.3

$- 3$ 및 $9$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.3.3.1

$- 3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- 1)}{9} \arctan (3 u_{2}) + C$

단계 12.3.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.3.3.2.1

$9$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 3} \arctan (3 u_{2}) + C$

단계 12.3.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 3} \arctan (3 u_{2}) + C$

단계 12.3.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 1}{3} \arctan (3 u_{2}) + C$

단계 12.3.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{3} \arctan (3 u_{2}) + C$

단계 13

$u_{2}$ 를 모두 $\cos (2 x)$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{3} \arctan (3 \cos (2 x)) + C$