미적분 예제

${(\sin (2 x) - \cos (2 x))}^{2}$

단계 1

${(\sin (2 x) - \cos (2 x))}^{2}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = {(\sin (2 x) - \cos (2 x))}^{2}$

단계 2

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 3

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int {(\sin (2 x) - \cos (2 x))}^{2} d x$

단계 4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

${(\sin (2 x) - \cos (2 x))}^{2}$ 을 $(\sin (2 x) - \cos (2 x)) (\sin (2 x) - \cos (2 x))$ 로 바꿔 씁니다.

$\int (\sin (2 x) - \cos (2 x)) (\sin (2 x) - \cos (2 x)) d x$

단계 4.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(\sin (2 x) - \cos (2 x)) (\sin (2 x) - \cos (2 x))$ 를 전개합니다.

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단계 4.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\int \sin (2 x) (\sin (2 x) - \cos (2 x)) - \cos (2 x) (\sin (2 x) - \cos (2 x)) d x$

단계 4.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\int \sin (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) (\sin (2 x) - \cos (2 x)) d x$

단계 4.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\int \sin (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) (- \cos (2 x)) d x$

단계 4.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 4.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.3.1.1

$\sin (2 x) \sin (2 x)$ 을 곱합니다.

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단계 4.3.1.1.1

$\sin (2 x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int \sin^{1} (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) (- \cos (2 x)) d x$

단계 4.3.1.1.2

$\sin (2 x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int \sin^{1} (2 x) \sin^{1} (2 x) + \sin (2 x) (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) (- \cos (2 x)) d x$

단계 4.3.1.1.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int {\sin (2 x)}^{1 + 1} + \sin (2 x) (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) (- \cos (2 x)) d x$

단계 4.3.1.1.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\int \sin^{2} (2 x) + \sin (2 x) (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) (- \cos (2 x)) d x$

단계 4.3.1.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) (- \cos (2 x)) d x$

단계 4.3.1.3

$- \cos (2 x) (- \cos (2 x))$ 을 곱합니다.

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단계 4.3.1.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + 1 \cos (2 x) \cos (2 x) d x$

단계 4.3.1.3.2

$\cos (2 x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + \cos (2 x) \cos (2 x) d x$

단계 4.3.1.3.3

$\cos (2 x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + \cos^{1} (2 x) \cos (2 x) d x$

단계 4.3.1.3.4

$\cos (2 x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + \cos^{1} (2 x) \cos^{1} (2 x) d x$

단계 4.3.1.3.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + {\cos (2 x)}^{1 + 1} d x$

단계 4.3.1.3.6

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + \cos^{2} (2 x) d x$

단계 4.3.2

$- \sin (2 x) \cos (2 x)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\int \sin^{2} (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + \cos^{2} (2 x) d x$

단계 4.3.3

$- \cos (2 x) \sin (2 x)$ 에서 $\cos (2 x) \sin (2 x)$ 을 뺍니다.

$\int \sin^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \sin (2 x) + \cos^{2} (2 x) d x$

단계 4.4

$\cos^{2} (2 x)$ 를 옮깁니다.

$\int \sin^{2} (2 x) + \cos^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \sin (2 x) d x$

단계 4.5

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\int 1 - 2 \cos (2 x) \sin (2 x) d x$

단계 5

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int d x + \int - 2 \cos (2 x) \sin (2 x) d x$

단계 6

상수 규칙을 적용합니다.

$x + C + \int - 2 \cos (2 x) \sin (2 x) d x$

단계 7

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$x + C - 2 \int \cos (2 x) \sin (2 x) d x$

단계 8

먼저 $u_{2} = \cos (2 x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = - 2 \sin (2 x) d x$ 이므로 $- \frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 x) d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 8.1

$u_{2} = \cos (2 x)$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 8.1.1

$\cos (2 x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

단계 8.1.2

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 8.1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 8.1.2.2

$\cos (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u_{1})$ 입니다.

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 8.1.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 8.1.3

미분합니다.

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단계 8.1.3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

단계 8.1.3.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

단계 8.1.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 \sin (2 x) \cdot 1$

단계 8.1.3.4

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 2 \sin (2 x)$

단계 8.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$x + C - 2 \int u_{2} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

단계 9

간단히 합니다.

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단계 9.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x + C - 2 \int u_{2} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

단계 9.2

$u_{2}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$x + C - 2 \int - \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

단계 10

$- 1$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$x + C - 2 (- \int \frac{u_{2}}{2} d u_{2})$

단계 11

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$x + C + 2 \int \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

단계 12

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$x + C + 2 (\frac{1}{2} \int u_{2} d u_{2})$

단계 13

간단히 합니다.

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단계 13.1

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$x + C + \frac{2}{2} \int u_{2} d u_{2}$

단계 13.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 13.2.1

공약수로 약분합니다.

$x + C + \frac{2}{2} \int u_{2} d u_{2}$

단계 13.2.2

수식을 다시 씁니다.

$x + C + 1 \int u_{2} d u_{2}$

단계 13.3

$\int u_{2} d u_{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x + C + \int u_{2} d u_{2}$

단계 14

멱의 법칙에 의해 $u_{2}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ 가 됩니다.

$x + C + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

단계 15

간단히 합니다.

$x + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

단계 16

$u_{2}$ 를 모두 $\cos (2 x)$ 로 바꿉니다.

$x + \frac{1}{2} \cos^{2} (2 x) + C$

단계 17

답은 함수 $f (x) = {(\sin (2 x) - \cos (2 x))}^{2}$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $x + \frac{1}{2} \cos^{2} (2 x) + C$