미적분 예제

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} + 8}$

단계 1

$f (x) = {(x + 1)}^{2}$ , $g (x) = x^{2} + 8$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}] - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

단계 2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = x + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{(x^{2} + 8) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x + 1]) - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

단계 2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} + 8) (2 u \frac{d}{d x} [x + 1]) - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $x + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{(x^{2} + 8) (2 (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1]) - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

$x^{2} + 8$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 8) (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1] - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

단계 3.2

합의 법칙에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{2 (x^{2} + 8) (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

단계 3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2 (x^{2} + 8) (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

단계 3.4

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{2 (x^{2} + 8) (x + 1) (1 + 0) - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

단계 3.5

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2 (x^{2} + 8) (x + 1) \cdot 1 - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

단계 3.5.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (x^{2} + 8) (x + 1) - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

단계 3.6

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ 가 됩니다.

$\frac{2 (x^{2} + 8) (x + 1) - {(x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8])}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

단계 3.7

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2 (x^{2} + 8) (x + 1) - {(x + 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [8])}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

단계 3.8

$8$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $8$ 입니다.

$\frac{2 (x^{2} + 8) (x + 1) - {(x + 1)}^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

단계 3.9

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2 (x^{2} + 8) (x + 1) - {(x + 1)}^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

단계 3.9.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (x^{2} + 8) (x + 1) - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

단계 4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 8) (x + 1) - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

단계 4.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1

$2$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$\frac{(2 x^{2} + 16) (x + 1) - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

단계 4.2.1.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(2 x^{2} + 16) (x + 1)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x^{2} (x + 1) + 16 (x + 1) - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

단계 4.2.1.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot 1 + 16 (x + 1) - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

단계 4.2.1.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot 1 + 16 x + 16 \cdot 1 - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

단계 4.2.1.3

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.3.1

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.3.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 16 x + 16 \cdot 1 - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

단계 4.2.1.3.1.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.3.1.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 16 x + 16 \cdot 1 - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

단계 4.2.1.3.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \cdot 1 + 16 x + 16 \cdot 1 - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

단계 4.2.1.3.1.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} \cdot 1 + 16 x + 16 \cdot 1 - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

단계 4.2.1.3.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 \cdot 1 - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

단계 4.2.1.3.3

$16$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

단계 4.2.1.4

${(x + 1)}^{2}$ 을 $(x + 1) (x + 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 ((x + 1) (x + 1)) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

단계 4.2.1.5

FOIL 계산법을 이용하여 $(x + 1) (x + 1)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 (x (x + 1) + 1 (x + 1)) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

단계 4.2.1.5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

단계 4.2.1.5.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

단계 4.2.1.6

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.6.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.6.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

단계 4.2.1.6.1.2

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

단계 4.2.1.6.1.3

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

단계 4.2.1.6.1.4

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 (x^{2} + x + x + 1) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

단계 4.2.1.6.2

$x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 (x^{2} + 2 x + 1) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

단계 4.2.1.7

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 + (- 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

단계 4.2.1.8

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.8.1

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 + (- 2 x^{2} - 4 x - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

단계 4.2.1.8.2

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 + (- 2 x^{2} - 4 x - 2) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

단계 4.2.1.9

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 x^{2} x - 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

단계 4.2.1.10

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.10.1

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.10.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 (x \cdot x^{2}) - 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

단계 4.2.1.10.1.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.10.1.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 (x^{1} x^{2}) - 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

단계 4.2.1.10.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 x^{1 + 2} - 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

단계 4.2.1.10.1.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 x^{3} - 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

단계 4.2.1.10.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.10.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 x^{3} - 4 (x \cdot x) - 2 x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

단계 4.2.1.10.2.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 x^{3} - 4 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

단계 4.2.2

$2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 x^{3} - 4 x^{2} - 2 x$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

$2 x^{3}$ 에서 $2 x^{3}$ 을 뺍니다.

$\frac{2 x^{2} + 16 x + 16 + 0 - 4 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

단계 4.2.2.2

$2 x^{2} + 16 x + 16$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2 x^{2} + 16 x + 16 - 4 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

단계 4.2.3

$2 x^{2}$ 에서 $4 x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{- 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

단계 4.2.4

$16 x$ 에서 $2 x$ 을 뺍니다.

$\frac{- 2 x^{2} + 14 x + 16}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

단계 4.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$- 2 x^{2} + 14 x + 16$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1.1

$- 2 x^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- x^{2}) + 14 x + 16}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

단계 4.3.1.2

$14 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 (7 x) + 16}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

단계 4.3.1.3

$16$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 (7 x) + 2 (8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

단계 4.3.1.4

$2 (- x^{2}) + 2 (7 x)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- x^{2} + 7 x) + 2 (8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

단계 4.3.1.5

$2 (- x^{2} + 7 x) + 2 (8)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- x^{2} + 7 x + 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

단계 4.3.2

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = - 1 \cdot 8 = - 8$ 이고 합이 $b = 7$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.1

$7 x$ 에서 $7$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- x^{2} + 7 (x) + 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

단계 4.3.2.1.2

$7$ 를 $- 1$ + $8$ 로 다시 씁니다.

$\frac{2 (- x^{2} + (- 1 + 8) x + 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

단계 4.3.2.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 (- x^{2} - 1 x + 8 x + 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

단계 4.3.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$\frac{2 ((- x^{2} - 1 x) + 8 x + 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

단계 4.3.2.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$\frac{2 (x (- x - 1) - 8 (- x - 1))}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

단계 4.3.2.3

최대공약수 $- x - 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$\frac{2 ((- x - 1) (x - 8))}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

$\frac{2 (- x - 1) (x - 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

단계 4.4

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- (x) - 1) (x - 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

단계 4.5

$- 1$ 을 $- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 (- (x) - 1 (1)) (x - 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

단계 4.6

$- (x) - 1 (1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- (x + 1)) (x - 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

단계 4.7

$- (x + 1)$ 을 $- 1 (x + 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 (- 1 (x + 1)) (x - 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

단계 4.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{(2 (x + 1)) (x - 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

단계 4.9

$- \frac{(2 (x + 1)) (x - 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- \frac{2 (x + 1) (x - 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$