미적분 예제

$\frac{x^{2} - x - 11}{e^{x}}$

단계 1

$f (x) = x^{2} - x - 11$ , $g (x) = e^{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 11] - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

단계 2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

${(e^{x})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 11] - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

단계 2.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 11] - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

단계 2.2

합의 법칙에 의해 $x^{2} - x - 11$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 11]$ 가 됩니다.

$\frac{e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 11]) - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

단계 2.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{e^{x} (2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 11]) - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

단계 2.4

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{e^{x} (2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]) - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

단계 2.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{e^{x} (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 11]) - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

단계 2.6

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{x} (2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 11]) - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

단계 2.7

$- 11$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 11$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 11$ 입니다.

$\frac{e^{x} (2 x - 1 + 0) - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

단계 2.8

$2 x - 1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{e^{x} (2 x - 1) - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

단계 3

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{e^{x} (2 x - 1) - (x^{2} - x - 11) e^{x}}{e^{2 x}}$

단계 4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 1 - (x^{2} - x - 11) e^{x}}{e^{2 x}}$

단계 4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - - 11) e^{x}}{e^{2 x}}$

단계 4.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 1 - x^{2} e^{x} - - x e^{x} - - 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

단계 4.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{2 e^{x} x + e^{x} \cdot - 1 - x^{2} e^{x} - - x e^{x} - - 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

단계 4.4.1.2

$e^{x}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$\frac{2 e^{x} x - 1 \cdot e^{x} - x^{2} e^{x} - - x e^{x} - - 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

단계 4.4.1.3

$- 1 e^{x}$ 을 $- e^{x}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 e^{x} x - e^{x} - x^{2} e^{x} - - x e^{x} - - 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

단계 4.4.1.4

$- - x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1.4.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 e^{x} x - e^{x} - x^{2} e^{x} + 1 x e^{x} - - 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

단계 4.4.1.4.2

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 e^{x} x - e^{x} - x^{2} e^{x} + x e^{x} - - 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

단계 4.4.1.5

$- 1$ 에 $- 11$ 을 곱합니다.

$\frac{2 e^{x} x - e^{x} - x^{2} e^{x} + x e^{x} + 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

단계 4.4.2

$2 e^{x} x$ 를 $x e^{x}$ 에 더합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.2.1

$e^{x}$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 x e^{x} + x e^{x} - e^{x} - x^{2} e^{x} + 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

단계 4.4.2.2

$2 x e^{x}$ 를 $x e^{x}$ 에 더합니다.

$\frac{3 x e^{x} - e^{x} - x^{2} e^{x} + 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

단계 4.4.3

$- e^{x}$ 를 $11 e^{x}$ 에 더합니다.

$\frac{3 x e^{x} - x^{2} e^{x} + 10 e^{x}}{e^{2 x}}$

단계 4.5

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{3 e^{x} x - e^{x} x^{2} + 10 e^{x}}{e^{2 x}}$

단계 4.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.6.1

$3 e^{x} x - e^{x} x^{2} + 10 e^{x}$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.6.1.1

$3 e^{x} x$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{x} (3 x) - e^{x} x^{2} + 10 e^{x}}{e^{2 x}}$

단계 4.6.1.2

$- e^{x} x^{2}$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{x} (3 x) + e^{x} (- x^{2}) + 10 e^{x}}{e^{2 x}}$

단계 4.6.1.3

$10 e^{x}$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{x} (3 x) + e^{x} (- x^{2}) + e^{x} \cdot 10}{e^{2 x}}$

단계 4.6.1.4

$e^{x} (3 x) + e^{x} (- x^{2})$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{x} (3 x - x^{2}) + e^{x} \cdot 10}{e^{2 x}}$

단계 4.6.1.5

$e^{x} (3 x - x^{2}) + e^{x} \cdot 10$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{x} (3 x - x^{2} + 10)}{e^{2 x}}$

단계 4.6.2

$u = x$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$\frac{e^{x} (3 u - u^{2} + 10)}{e^{2 x}}$

단계 4.6.3

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.6.3.1

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{e^{x} (- u^{2} + 3 u + 10)}{e^{2 x}}$

단계 4.6.3.2

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = - 1 \cdot 10 = - 10$ 이고 합이 $b = 3$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.6.3.2.1

$3 u$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{x} (- u^{2} + 3 (u) + 10)}{e^{2 x}}$

단계 4.6.3.2.2

$3$ 를 $- 2$ + $5$ 로 다시 씁니다.

$\frac{e^{x} (- u^{2} + (- 2 + 5) u + 10)}{e^{2 x}}$

단계 4.6.3.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{e^{x} (- u^{2} - 2 u + 5 u + 10)}{e^{2 x}}$

단계 4.6.3.3

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.6.3.3.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$\frac{e^{x} ((- u^{2} - 2 u) + 5 u + 10)}{e^{2 x}}$

단계 4.6.3.3.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$\frac{e^{x} (u (- u - 2) - 5 (- u - 2))}{e^{2 x}}$

단계 4.6.3.4

최대공약수 $- u - 2$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$\frac{e^{x} ((- u - 2) (u - 5))}{e^{2 x}}$

단계 4.6.4

$u$ 를 모두 $x$ 로 바꿉니다.

$\frac{e^{x} (- x - 2) (x - 5)}{e^{2 x}}$

단계 4.7

$e^{x}$ 및 $e^{2 x}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.7.1

$e^{x} (- x - 2) (x - 5)$ 에서 $e^{2 x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{2 x} ((e^{- x} (- x - 2)) (x - 5))}{e^{2 x}}$

단계 4.7.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.7.2.1

$1$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{2 x} ((e^{- x} (- x - 2)) (x - 5))}{e^{2 x} \cdot 1}$

단계 4.7.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{2 x} ((e^{- x} (- x - 2)) (x - 5))}{e^{2 x} \cdot 1}$

단계 4.7.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{(e^{- x} (- x - 2)) (x - 5)}{1}$

단계 4.7.2.4

$(e^{- x} (- x - 2)) (x - 5)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$(e^{- x} (- x - 2)) (x - 5)$

단계 4.8

분배 법칙을 적용합니다.

$(e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot - 2) (x - 5)$

단계 4.9

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$(- e^{- x} x + e^{- x} \cdot - 2) (x - 5)$

단계 4.10

$e^{- x}$ 의 왼쪽으로 $- 2$ 이동하기

$(- e^{- x} x - 2 \cdot e^{- x}) (x - 5)$

단계 4.11

FOIL 계산법을 이용하여 $(- e^{- x} x - 2 e^{- x}) (x - 5)$ 를 전개합니다.

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단계 4.11.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- e^{- x} x (x - 5) - 2 e^{- x} (x - 5)$

단계 4.11.2

분배 법칙을 적용합니다.

$- e^{- x} x \cdot x - e^{- x} x \cdot - 5 - 2 e^{- x} (x - 5)$

단계 4.11.3

분배 법칙을 적용합니다.

$- e^{- x} x \cdot x - e^{- x} x \cdot - 5 - 2 e^{- x} x - 2 e^{- x} \cdot - 5$

단계 4.12

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.12.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.12.1.1

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.12.1.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$- e^{- x} (x \cdot x) - e^{- x} x \cdot - 5 - 2 e^{- x} x - 2 e^{- x} \cdot - 5$

단계 4.12.1.1.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$- e^{- x} x^{2} - e^{- x} x \cdot - 5 - 2 e^{- x} x - 2 e^{- x} \cdot - 5$

단계 4.12.1.2

$- 5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- e^{- x} x^{2} + 5 e^{- x} x - 2 e^{- x} x - 2 e^{- x} \cdot - 5$

단계 4.12.1.3

$- 5$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- e^{- x} x^{2} + 5 e^{- x} x - 2 e^{- x} x + 10 e^{- x}$

단계 4.12.2

$5 e^{- x} x$ 에서 $2 e^{- x} x$ 을 뺍니다.

$- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} x + 10 e^{- x}$

단계 4.13

$- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} x + 10 e^{- x}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- x^{2} e^{- x} + 3 x e^{- x} + 10 e^{- x}$