미적분 예제

$f (x) = \frac{5}{8} x^{- 2} + \frac{4}{3} x^{3} + \frac{2}{3} x^{4} + \frac{1}{10} x^{- 3}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

합의 법칙에 의해 $\frac{5}{8} x^{- 2} + \frac{4}{3} x^{3} + \frac{2}{3} x^{4} + \frac{1}{10} x^{- 3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{5}{8} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{8} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{8} x^{- 2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.2.1

$\frac{5}{8}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{5}{8} x^{- 2}$ 의 미분은 $\frac{5}{8} \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ 입니다.

$\frac{5}{8} \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

단계 1.2.2

$n = - 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{5}{8} (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

단계 1.2.3

$- 2$ 와 $\frac{5}{8}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2 \cdot 5}{8} x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

단계 1.2.4

$- 2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{- 10}{8} x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

단계 1.2.5

$\frac{- 10}{8}$ 와 $x^{- 3}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 10 x^{- 3}}{8} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

단계 1.2.6

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- 3}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{- 10}{8 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

단계 1.2.7

$- 10$ 및 $8$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.7.1

$- 10$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- 5)}{8 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

단계 1.2.7.2

공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.7.2.1

$8 x^{3}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- 5)}{2 (4 x^{3})} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

단계 1.2.7.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot - 5}{2 (4 x^{3})} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

단계 1.2.7.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 5}{4 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

단계 1.2.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{5}{4 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$\frac{4}{3}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{4}{3} x^{3}$ 의 미분은 $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$- \frac{5}{4 x^{3}} + \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

단계 1.3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{5}{4 x^{3}} + \frac{4}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

단계 1.3.3

$3$ 와 $\frac{4}{3}$ 을 묶습니다.

$- \frac{5}{4 x^{3}} + \frac{3 \cdot 4}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

단계 1.3.4

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- \frac{5}{4 x^{3}} + \frac{12}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

단계 1.3.5

$\frac{12}{3}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{5}{4 x^{3}} + \frac{12 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

단계 1.3.6

$12$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.3.6.1

$12 x^{2}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{5}{4 x^{3}} + \frac{3 (4 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

단계 1.3.6.2

공약수로 약분합니다.

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단계 1.3.6.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{5}{4 x^{3}} + \frac{3 (4 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

단계 1.3.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$- \frac{5}{4 x^{3}} + \frac{3 (4 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

단계 1.3.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{5}{4 x^{3}} + \frac{4 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

단계 1.3.6.2.4

$4 x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- \frac{5}{4 x^{3}} + 4 x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

단계 1.4

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.4.1

$\frac{2}{3}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{2}{3} x^{4}$ 의 미분은 $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$- \frac{5}{4 x^{3}} + 4 x^{2} + \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

단계 1.4.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{5}{4 x^{3}} + 4 x^{2} + \frac{2}{3} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

단계 1.4.3

$4$ 와 $\frac{2}{3}$ 을 묶습니다.

$- \frac{5}{4 x^{3}} + 4 x^{2} + \frac{4 \cdot 2}{3} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

단계 1.4.4

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{5}{4 x^{3}} + 4 x^{2} + \frac{8}{3} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

단계 1.4.5

$\frac{8}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$- \frac{5}{4 x^{3}} + 4 x^{2} + \frac{8 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

단계 1.5

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

$\frac{1}{10}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{1}{10} x^{- 3}$ 의 미분은 $\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ 입니다.

$- \frac{5}{4 x^{3}} + 4 x^{2} + \frac{8 x^{3}}{3} + \frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

단계 1.5.2

$n = - 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{5}{4 x^{3}} + 4 x^{2} + \frac{8 x^{3}}{3} + \frac{1}{10} (- 3 x^{- 4})$

단계 1.5.3

$- 3$ 와 $\frac{1}{10}$ 을 묶습니다.

$- \frac{5}{4 x^{3}} + 4 x^{2} + \frac{8 x^{3}}{3} + \frac{- 3}{10} x^{- 4}$

단계 1.5.4

$\frac{- 3}{10}$ 와 $x^{- 4}$ 을 묶습니다.

$- \frac{5}{4 x^{3}} + 4 x^{2} + \frac{8 x^{3}}{3} + \frac{- 3 x^{- 4}}{10}$

단계 1.5.5

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- 4}$ 를 분모로 이동합니다.

$- \frac{5}{4 x^{3}} + 4 x^{2} + \frac{8 x^{3}}{3} + \frac{- 3}{10 x^{4}}$

단계 1.5.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{5}{4 x^{3}} + 4 x^{2} + \frac{8 x^{3}}{3} - \frac{3}{10 x^{4}}$

단계 1.6

항을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = \frac{8 x^{3}}{3} + 4 x^{2} - \frac{5}{4 x^{3}} - \frac{3}{10 x^{4}}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $\frac{8 x^{3}}{3} + 4 x^{2} - \frac{5}{4 x^{3}} - \frac{3}{10 x^{4}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{8 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{8 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [\frac{8 x^{3}}{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$\frac{8}{3}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{8 x^{3}}{3}$ 의 미분은 $\frac{8}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$\frac{8}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

단계 2.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{8}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

단계 2.2.3

$3$ 와 $\frac{8}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{3 \cdot 8}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

단계 2.2.4

$3$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$\frac{24}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

단계 2.2.5

$\frac{24}{3}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{24 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

단계 2.2.6

$24$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.2.6.1

$24 x^{2}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (8 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

단계 2.2.6.2

공약수로 약분합니다.

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단계 2.2.6.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (8 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

단계 2.2.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 (8 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

단계 2.2.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{8 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

단계 2.2.6.2.4

$8 x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$8 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{2}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$8 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

단계 2.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$8 x^{2} + 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

단계 2.3.3

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$8 x^{2} + 8 x + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

단계 2.4

$\frac{d}{d x} [- \frac{5}{4 x^{3}}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$- \frac{5}{4}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{5}{4 x^{3}}$ 의 미분은 $- \frac{5}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ 입니다.

$8 x^{2} + 8 x - \frac{5}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

단계 2.4.2

$\frac{1}{x^{3}}$ 을 ${(x^{3})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$8 x^{2} + 8 x - \frac{5}{4} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

단계 2.4.3

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.4.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $x^{3}$ 로 바꿉니다.

$8 x^{2} + 8 x - \frac{5}{4} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

단계 2.4.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$8 x^{2} + 8 x - \frac{5}{4} (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

단계 2.4.3.3

$u_{1}$ 를 모두 $x^{3}$ 로 바꿉니다.

$8 x^{2} + 8 x - \frac{5}{4} (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

단계 2.4.4

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$8 x^{2} + 8 x - \frac{5}{4} (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

단계 2.4.5

${(x^{3})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.4.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$8 x^{2} + 8 x - \frac{5}{4} (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

단계 2.4.5.2

$3$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$8 x^{2} + 8 x - \frac{5}{4} (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

단계 2.4.6

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$8 x^{2} + 8 x - \frac{5}{4} (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

단계 2.4.7

지수를 더하여 $x^{- 6}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 2.4.7.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$8 x^{2} + 8 x - \frac{5}{4} (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

단계 2.4.7.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$8 x^{2} + 8 x - \frac{5}{4} (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

단계 2.4.7.3

$2$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$8 x^{2} + 8 x - \frac{5}{4} (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

단계 2.4.8

$- 3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$8 x^{2} + 8 x + 3 (\frac{5}{4}) x^{- 4} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

단계 2.4.9

$3$ 와 $\frac{5}{4}$ 을 묶습니다.

$8 x^{2} + 8 x + \frac{3 \cdot 5}{4} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

단계 2.4.10

$3$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

단계 2.4.11

$\frac{15}{4}$ 와 $x^{- 4}$ 을 묶습니다.

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15 x^{- 4}}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

단계 2.4.12

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- 4}$ 를 분모로 이동합니다.

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

단계 2.5

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.5.1

$- \frac{3}{10}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{3}{10 x^{4}}$ 의 미분은 $- \frac{3}{10} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ 입니다.

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} - \frac{3}{10} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

단계 2.5.2

$\frac{1}{x^{4}}$ 을 ${(x^{4})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} - \frac{3}{10} \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

단계 2.5.3

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{4}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $x^{4}$ 로 바꿉니다.

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} - \frac{3}{10} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

단계 2.5.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} - \frac{3}{10} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

단계 2.5.3.3

$u_{2}$ 를 모두 $x^{4}$ 로 바꿉니다.

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} - \frac{3}{10} (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

단계 2.5.4

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} - \frac{3}{10} (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

단계 2.5.5

${(x^{4})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} - \frac{3}{10} (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

단계 2.5.5.2

$4$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} - \frac{3}{10} (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

단계 2.5.6

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} - \frac{3}{10} (- 4 x^{- 8} x^{3})$

단계 2.5.7

지수를 더하여 $x^{- 8}$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.7.1

$x^{3}$ 를 옮깁니다.

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} - \frac{3}{10} (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

단계 2.5.7.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} - \frac{3}{10} (- 4 x^{3 - 8})$

단계 2.5.7.3

$3$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} - \frac{3}{10} (- 4 x^{- 5})$

단계 2.5.8

$- 4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} + 4 (\frac{3}{10}) x^{- 5}$

단계 2.5.9

$4$ 와 $\frac{3}{10}$ 을 묶습니다.

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} + \frac{4 \cdot 3}{10} x^{- 5}$

단계 2.5.10

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} + \frac{12}{10} x^{- 5}$

단계 2.5.11

$\frac{12}{10}$ 와 $x^{- 5}$ 을 묶습니다.

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} + \frac{12 x^{- 5}}{10}$

단계 2.5.12

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- 5}$ 를 분모로 이동합니다.

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} + \frac{12}{10 x^{5}}$

단계 2.5.13

$12$ 및 $10$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.13.1

$12$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} + \frac{2 (6)}{10 x^{5}}$

단계 2.5.13.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.13.2.1

$10 x^{5}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} + \frac{2 (6)}{2 (5 x^{5})}$

단계 2.5.13.2.2

공약수로 약분합니다.

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} + \frac{2 \cdot 6}{2 (5 x^{5})}$

단계 2.5.13.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = 8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} + \frac{6}{5 x^{5}}$

단계 3

3차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

합의 법칙에 의해 $8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} + \frac{6}{5 x^{5}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{15}{4 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{15}{4 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $8 x^{2}$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{15}{4 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

단계 3.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$8 (2 x) + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{15}{4 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

단계 3.2.3

$2$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$16 x + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{15}{4 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [8 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $8 x$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$16 x + 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{15}{4 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

단계 3.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$16 x + 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{15}{4 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

단계 3.3.3

$8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$16 x + 8 + \frac{d}{d x} [\frac{15}{4 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

단계 3.4

$\frac{d}{d x} [\frac{15}{4 x^{4}}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$\frac{15}{4}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{15}{4 x^{4}}$ 의 미분은 $\frac{15}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ 입니다.

$16 x + 8 + \frac{15}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

단계 3.4.2

$\frac{1}{x^{4}}$ 을 ${(x^{4})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$16 x + 8 + \frac{15}{4} \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

단계 3.4.3

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{4}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $x^{4}$ 로 바꿉니다.

$16 x + 8 + \frac{15}{4} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

단계 3.4.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$16 x + 8 + \frac{15}{4} (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

단계 3.4.3.3

$u_{1}$ 를 모두 $x^{4}$ 로 바꿉니다.

$16 x + 8 + \frac{15}{4} (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

단계 3.4.4

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$16 x + 8 + \frac{15}{4} (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

단계 3.4.5

${(x^{4})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$16 x + 8 + \frac{15}{4} (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

단계 3.4.5.2

$4$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$16 x + 8 + \frac{15}{4} (- x^{- 8} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

단계 3.4.6

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$16 x + 8 + \frac{15}{4} (- 4 x^{- 8} x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

단계 3.4.7

지수를 더하여 $x^{- 8}$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.7.1

$x^{3}$ 를 옮깁니다.

$16 x + 8 + \frac{15}{4} (- 4 (x^{3} x^{- 8})) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

단계 3.4.7.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$16 x + 8 + \frac{15}{4} (- 4 x^{3 - 8}) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

단계 3.4.7.3

$3$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$16 x + 8 + \frac{15}{4} (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

단계 3.4.8

$- 4$ 와 $\frac{15}{4}$ 을 묶습니다.

$16 x + 8 + \frac{- 4 \cdot 15}{4} x^{- 5} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

단계 3.4.9

$- 4$ 에 $15$ 을 곱합니다.

$16 x + 8 + \frac{- 60}{4} x^{- 5} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

단계 3.4.10

$\frac{- 60}{4}$ 와 $x^{- 5}$ 을 묶습니다.

$16 x + 8 + \frac{- 60 x^{- 5}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

단계 3.4.11

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- 5}$ 를 분모로 이동합니다.

$16 x + 8 + \frac{- 60}{4 x^{5}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

단계 3.4.12

$- 60$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.12.1

$- 60$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$16 x + 8 + \frac{4 \cdot - 15}{4 x^{5}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

단계 3.4.12.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.12.2.1

$4 x^{5}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$16 x + 8 + \frac{4 \cdot - 15}{4 (x^{5})} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

단계 3.4.12.2.2

공약수로 약분합니다.

$16 x + 8 + \frac{4 \cdot - 15}{4 x^{5}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

단계 3.4.12.2.3

수식을 다시 씁니다.

$16 x + 8 + \frac{- 15}{x^{5}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

단계 3.4.13

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

단계 3.5

$\frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$\frac{6}{5}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{6}{5 x^{5}}$ 의 미분은 $\frac{6}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ 입니다.

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} + \frac{6}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

단계 3.5.2

$\frac{1}{x^{5}}$ 을 ${(x^{5})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} + \frac{6}{5} \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

단계 3.5.3

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{5}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $x^{5}$ 로 바꿉니다.

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} + \frac{6}{5} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{5}])$

단계 3.5.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} + \frac{6}{5} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

단계 3.5.3.3

$u_{2}$ 를 모두 $x^{5}$ 로 바꿉니다.

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} + \frac{6}{5} (- {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

단계 3.5.4

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} + \frac{6}{5} (- {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4}))$

단계 3.5.5

${(x^{5})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} + \frac{6}{5} (- x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4}))$

단계 3.5.5.2

$5$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} + \frac{6}{5} (- x^{- 10} (5 x^{4}))$

단계 3.5.6

$5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} + \frac{6}{5} (- 5 x^{- 10} x^{4})$

단계 3.5.7

지수를 더하여 $x^{- 10}$ 에 $x^{4}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.7.1

$x^{4}$ 를 옮깁니다.

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} + \frac{6}{5} (- 5 (x^{4} x^{- 10}))$

단계 3.5.7.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} + \frac{6}{5} (- 5 x^{4 - 10})$

단계 3.5.7.3

$4$ 에서 $10$ 을 뺍니다.

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} + \frac{6}{5} (- 5 x^{- 6})$

단계 3.5.8

$- 5$ 와 $\frac{6}{5}$ 을 묶습니다.

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} + \frac{- 5 \cdot 6}{5} x^{- 6}$

단계 3.5.9

$- 5$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} + \frac{- 30}{5} x^{- 6}$

단계 3.5.10

$\frac{- 30}{5}$ 와 $x^{- 6}$ 을 묶습니다.

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} + \frac{- 30 x^{- 6}}{5}$

단계 3.5.11

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- 6}$ 를 분모로 이동합니다.

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} + \frac{- 30}{5 x^{6}}$

단계 3.5.12

$- 30$ 및 $5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.12.1

$- 30$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} + \frac{5 \cdot - 6}{5 x^{6}}$

단계 3.5.12.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.12.2.1

$5 x^{6}$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} + \frac{5 \cdot - 6}{5 (x^{6})}$

단계 3.5.12.2.2

공약수로 약분합니다.

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} + \frac{5 \cdot - 6}{5 x^{6}}$

단계 3.5.12.2.3

수식을 다시 씁니다.

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} + \frac{- 6}{x^{6}}$

단계 3.5.13

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} - \frac{6}{x^{6}}$

단계 3.6

항을 다시 정렬합니다.

$f''' (x) = 16 x - \frac{15}{x^{5}} - \frac{6}{x^{6}} + 8$

단계 4

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 3차 도함수는 $16 x - \frac{15}{x^{5}} - \frac{6}{x^{6}} + 8$ 입니다.

$16 x - \frac{15}{x^{5}} - \frac{6}{x^{6}} + 8$