미적분 예제

$f (x) = \arctan (x^{2})$

단계 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

2차 도함수를 구합니다

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단계 1.1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1.1.1

$f (x) = \arctan (x)$ , $g (x) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.1.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\arctan (u)) \frac{d}{d x} (x^{2})$

단계 1.1.1.1.2

$\arctan (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{1 + u^{2}}$ 입니다.

$f' (x) = \frac{1}{1 + u^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})$

단계 1.1.1.1.3

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = \frac{1}{1 + {(x^{2})}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})$

단계 1.1.1.2

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.1.2.1

${(x^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 1.1.1.2.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f' (x) = \frac{1}{1 + x^{2 \cdot 2}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})$

단계 1.1.1.2.1.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{1}{1 + x^{4}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})$

단계 1.1.1.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = \frac{1}{1 + x^{4}} \cdot (2 x)$

단계 1.1.1.2.3

분수를 통분합니다.

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단계 1.1.1.2.3.1

$2$ 와 $\frac{1}{1 + x^{4}}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = \frac{2}{1 + x^{4}} \cdot x$

단계 1.1.1.2.3.2

$\frac{2}{1 + x^{4}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$f' (x) = \frac{2 x}{1 + x^{4}}$

단계 1.1.1.2.3.3

항을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{4} + 1}$

단계 1.1.2

2차 도함수를 구합니다

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단계 1.1.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{2 x}{x^{4} + 1}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{4} + 1}]$ 입니다.

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{4} + 1})$

단계 1.1.2.2

$f (x) = x$ , $g (x) = x^{4} + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{4} + 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

단계 1.1.2.3

미분합니다.

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단계 1.1.2.3.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{4} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

단계 1.1.2.3.2

$x^{4} + 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - x \frac{d}{d x} (x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

단계 1.1.2.3.3

합의 법칙에 의해 $x^{4} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - x (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

단계 1.1.2.3.4

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - x (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

단계 1.1.2.3.5

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - x (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

단계 1.1.2.3.6

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.3.6.1

$4 x^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - x (4 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

단계 1.1.2.3.6.2

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - 4 x \cdot x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

단계 1.1.2.4

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.4.1

$x^{3}$ 를 옮깁니다.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - 4 (x^{3} x)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

단계 1.1.2.4.2

$x^{3}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.4.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - 4 (x^{3} x)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

단계 1.1.2.4.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - 4 x^{3 + 1}}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

단계 1.1.2.4.3

$3$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - 4 x^{4}}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

단계 1.1.2.5

$x^{4}$ 에서 $4 x^{4}$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = 2 (\frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

단계 1.1.2.6

$2$ 와 $\frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{2 (- 3 x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

단계 1.1.2.7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{2 (- 3 x^{4}) + 2 \cdot 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

단계 1.1.2.7.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.1.2.7.2.1

$- 3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{4} + 2 \cdot 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

단계 1.1.2.7.2.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{4} + 2}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

단계 1.1.2.7.3

$- 6 x^{4} + 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.7.3.1

$- 6 x^{4}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{2 (- 3 x^{4}) + 2}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

단계 1.1.2.7.3.2

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{2 (- 3 x^{4}) + 2 (1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

단계 1.1.2.7.3.3

$2 (- 3 x^{4}) + 2 (1)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{2 (- 3 x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

단계 1.1.2.7.4

$- 3 x^{4}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{2 (- (3 x^{4}) + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

단계 1.1.2.7.5

$1$ 을 $- 1 (- 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (x) = \frac{2 (- (3 x^{4}) - 1 \cdot - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

단계 1.1.2.7.6

$- (3 x^{4}) - 1 (- 1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{2 (- (3 x^{4} - 1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

단계 1.1.2.7.7

$- (3 x^{4} - 1)$ 을 $- 1 (3 x^{4} - 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (x) = \frac{2 (- 1 (3 x^{4} - 1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

단계 1.1.2.7.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (x) = - \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

단계 1.1.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $- \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ 입니다.

$- \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

단계 1.2

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $- \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$- \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}} = 0$

단계 1.2.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$2 (3 x^{4} - 1) = 0$

단계 1.2.3

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

$2 (3 x^{4} - 1) = 0$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1.1

$2 (3 x^{4} - 1) = 0$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 (3 x^{4} - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

단계 1.2.3.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (3 x^{4} - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

단계 1.2.3.1.2.1.2

$3 x^{4} - 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$3 x^{4} - 1 = \frac{0}{2}$

단계 1.2.3.1.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1.3.1

$0$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$3 x^{4} - 1 = 0$

단계 1.2.3.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$3 x^{4} = 1$

단계 1.2.3.3

$3 x^{4} = 1$ 의 각 항을 $3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.3.1

$3 x^{4} = 1$ 의 각 항을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{3 x^{4}}{3} = \frac{1}{3}$

단계 1.2.3.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.3.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 x^{4}}{3} = \frac{1}{3}$

단계 1.2.3.3.2.1.2

$x^{4}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{4} = \frac{1}{3}$

단계 1.2.3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{3}}$

단계 1.2.3.5

$\pm \sqrt[4]{\frac{1}{3}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.5.1

$\sqrt[4]{\frac{1}{3}}$ 을 $\frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{3}}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{3}}$

단계 1.2.3.5.2

$1$ 의 거듭제곱근은 $1$ 입니다.

$x = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{3}}$

단계 1.2.3.5.3

$\frac{1}{\sqrt[4]{3}}$ 에 $\frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$ 을 곱합니다.

$x = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{3}} \cdot \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$

단계 1.2.3.5.4

분모를 결합하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.5.4.1

$\frac{1}{\sqrt[4]{3}}$ 에 $\frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$ 을 곱합니다.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{\sqrt[4]{3} {\sqrt[4]{3}}^{3}}$

단계 1.2.3.5.4.2

$\sqrt[4]{3}$ 를 $1$ 승 합니다.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{1} {\sqrt[4]{3}}^{3}}$

단계 1.2.3.5.4.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{1 + 3}}$

단계 1.2.3.5.4.4

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{4}}$

단계 1.2.3.5.4.5

${\sqrt[4]{3}}^{4}$ 을 $3$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.5.4.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[4]{3}$ 을(를) $3^{\frac{1}{4}}$ (으)로 다시 씁니다.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}$

단계 1.2.3.5.4.5.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{1}{4} \cdot 4}}$

단계 1.2.3.5.4.5.3

$\frac{1}{4}$ 와 $4$ 을 묶습니다.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{4}{4}}}$

단계 1.2.3.5.4.5.4

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.5.4.5.4.1

공약수로 약분합니다.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{4}{4}}}$

단계 1.2.3.5.4.5.4.2

수식을 다시 씁니다.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{1}}$

단계 1.2.3.5.4.5.5

지수값을 계산합니다.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3}$

단계 1.2.3.5.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.5.5.1

${\sqrt[4]{3}}^{3}$ 을 $\sqrt[4]{3^{3}}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{3^{3}}}{3}$

단계 1.2.3.5.5.2

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

단계 1.2.3.6

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.6.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

단계 1.2.3.6.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

단계 1.2.3.6.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

단계 2

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 3

2차 도함수가 0이거나 정의되지 않은 $x$ -값 주변에 구간을 만듭니다.

$(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) \cup (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \infty)$

단계 4

$(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 3$ 을 대입합니다.

$f'' (- 3) = - \frac{2 (3 {(- 3)}^{4} - 1)}{{({(- 3)}^{4} + 1)}^{2}}$

단계 4.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1

$- 3$ 를 $4$ 승 합니다.

$f'' (- 3) = - \frac{2 (3 \cdot 81 - 1)}{{({(- 3)}^{4} + 1)}^{2}}$

단계 4.2.1.2

$3$ 에 $81$ 을 곱합니다.

$f'' (- 3) = - \frac{2 (243 - 1)}{{({(- 3)}^{4} + 1)}^{2}}$

단계 4.2.1.3

$243$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f'' (- 3) = - \frac{2 \cdot 242}{{({(- 3)}^{4} + 1)}^{2}}$

단계 4.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

$- 3$ 를 $4$ 승 합니다.

$f'' (- 3) = - \frac{2 \cdot 242}{{(81 + 1)}^{2}}$

단계 4.2.2.2

$81$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f'' (- 3) = - \frac{2 \cdot 242}{82^{2}}$

단계 4.2.2.3

$82$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (- 3) = - \frac{2 \cdot 242}{6724}$

단계 4.2.3

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.3.1

$2$ 에 $242$ 을 곱합니다.

$f'' (- 3) = - \frac{484}{6724}$

단계 4.2.3.2

$484$ 및 $6724$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.3.2.1

$484$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$f'' (- 3) = - \frac{4 (121)}{6724}$

단계 4.2.3.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.3.2.2.1

$6724$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$f'' (- 3) = - \frac{4 \cdot 121}{4 \cdot 1681}$

단계 4.2.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$f'' (- 3) = - \frac{4 \cdot 121}{4 \cdot 1681}$

단계 4.2.3.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f'' (- 3) = - \frac{121}{1681}$

단계 4.2.4

최종 답은 $- \frac{121}{1681}$ 입니다.

$- \frac{121}{1681}$

단계 4.3

$f'' (- 3)$ 이 음수이므로 그래프는 $(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ 구간에서 아래로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ 에서 아래로 오목함

단계 5

$(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f'' (0) = - \frac{2 (3 {(0)}^{4} - 1)}{{({(0)}^{4} + 1)}^{2}}$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f'' (0) = - \frac{2 (3 \cdot 0 - 1)}{{(0^{4} + 1)}^{2}}$

단계 5.2.1.2

$3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f'' (0) = - \frac{2 (0 - 1)}{{(0^{4} + 1)}^{2}}$

단계 5.2.1.3

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 1}{{(0^{4} + 1)}^{2}}$

단계 5.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 1}{{(0 + 1)}^{2}}$

단계 5.2.2.2

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 1}{1^{2}}$

단계 5.2.2.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 1}{1}$

단계 5.2.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (0) = - \frac{- 2}{1}$

단계 5.2.3.2

$- 2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f'' (0) = 2$

단계 5.2.3.3

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f'' (0) = 2$

단계 5.2.4

최종 답은 $2$ 입니다.

$2$

단계 5.3

$f'' (0)$ 이 양수이므로 그래프는 $(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ 구간에서 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ 에서 위로 오목함

단계 6

$(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \infty)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $3$ 을 대입합니다.

$f'' (3) = - \frac{2 (3 {(3)}^{4} - 1)}{{({(3)}^{4} + 1)}^{2}}$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

지수를 더하여 $3$ 에 ${(3)}^{4}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

$3$ 에 ${(3)}^{4}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1.1

$3$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (3) = - \frac{2 (3 {(3)}^{4} - 1)}{{({(3)}^{4} + 1)}^{2}}$

단계 6.2.1.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (3) = - \frac{2 (3^{1 + 4} - 1)}{{({(3)}^{4} + 1)}^{2}}$

단계 6.2.1.2

$1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$f'' (3) = - \frac{2 (3^{5} - 1)}{{({(3)}^{4} + 1)}^{2}}$

단계 6.2.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

$3$ 를 $5$ 승 합니다.

$f'' (3) = - \frac{2 (243 - 1)}{{(3^{4} + 1)}^{2}}$

단계 6.2.2.2

$243$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f'' (3) = - \frac{2 \cdot 242}{{(3^{4} + 1)}^{2}}$

단계 6.2.3

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.1

$3$ 를 $4$ 승 합니다.

$f'' (3) = - \frac{2 \cdot 242}{{(81 + 1)}^{2}}$

단계 6.2.3.2

$81$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f'' (3) = - \frac{2 \cdot 242}{82^{2}}$

단계 6.2.3.3

$82$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (3) = - \frac{2 \cdot 242}{6724}$

단계 6.2.4

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.4.1

$2$ 에 $242$ 을 곱합니다.

$f'' (3) = - \frac{484}{6724}$

단계 6.2.4.2

$484$ 및 $6724$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.4.2.1

$484$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$f'' (3) = - \frac{4 (121)}{6724}$

단계 6.2.4.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.4.2.2.1

$6724$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$f'' (3) = - \frac{4 \cdot 121}{4 \cdot 1681}$

단계 6.2.4.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$f'' (3) = - \frac{4 \cdot 121}{4 \cdot 1681}$

단계 6.2.4.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f'' (3) = - \frac{121}{1681}$

단계 6.2.5

최종 답은 $- \frac{121}{1681}$ 입니다.

$- \frac{121}{1681}$

단계 6.3

$f'' (3)$ 이 음수이므로 그래프는 $(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \infty)$ 구간에서 아래로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \infty)$ 에서 아래로 오목함

단계 7

2차 미분값이 음수이면 그래프는 아래로 오목하고, 2차 미분값이 양수이면 그래프는 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ 에서 아래로 오목함

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ 에서 위로 오목함

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \infty)$ 에서 아래로 오목함

단계 8