미적분 예제

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(3 \cos (3 θ))}^{2} d θ$

단계 1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$3 \cos (3 θ)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(3 (\cos (3 θ)))}^{2} d θ$

단계 1.2

$3 (\cos (3 θ))$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} 3^{2} \cos^{2} (3 θ) d θ$

단계 1.3

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} 9 \cos^{2} (3 θ) d θ$

단계 2

$9$ 은 $θ$ 에 대해 상수이므로, $9$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$9 \int_{0}^{\frac{π}{6}} \cos^{2} (3 θ) d θ$

단계 3

먼저 $u_{1} = 3 θ$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = 3 d θ$ 이므로 $\frac{1}{3} d u_{1} = d θ$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$u_{1} = 3 θ$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d θ}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$3 θ$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d θ} [3 θ]$

단계 3.1.2

$3$ 은 $θ$ 에 대해 일정하므로 $θ$ 에 대한 $3 θ$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d θ} [θ]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d θ} [θ]$

단계 3.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ 는 $n θ^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \cdot 1$

단계 3.1.4

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3$

단계 3.2

$u_{1} = 3 θ$ 의 $θ$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

단계 3.3

$3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 0$

단계 3.4

$u_{1} = 3 θ$ 의 $θ$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 3 \frac{π}{6}$

단계 3.5

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$6$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3 (2)}$

단계 3.5.2

공약수로 약분합니다.

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3 \cdot 2}$

단계 3.5.3

수식을 다시 씁니다.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

단계 3.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

단계 3.7

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$9 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) \frac{1}{3} d u_{1}$

단계 4

$\cos^{2} (u_{1})$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$9 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{3} d u_{1}$

단계 5

$\frac{1}{3}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$9 (\frac{1}{3} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

단계 6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$\frac{1}{3}$ 와 $9$ 을 묶습니다.

$\frac{9}{3} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

단계 6.2

$9$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

$9$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 \cdot 3}{3} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

단계 6.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 \cdot 3}{3 (1)} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

단계 6.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

단계 6.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3}{1} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

단계 6.2.2.4

$3$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$3 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

단계 7

반각 공식을 이용해 $\cos^{2} (u_{1})$ 를 $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$3 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

단계 8

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$3 (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

단계 9

$\frac{1}{2}$ 와 $3$ 을 묶습니다.

$\frac{3}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

단계 10

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{3}{2} (\int_{0}^{\frac{π}{2}} d u_{1} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

단계 11

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{3}{2} (u_{1}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

단계 12

먼저 $u_{2} = 2 u_{1}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = 2 d u_{1}$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

$u_{2} = 2 u_{1}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.1

$2 u_{1}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

단계 12.1.2

$2$ 은 $u_{1}$ 에 대해 일정하므로 $u_{1}$ 에 대한 $2 u_{1}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

단계 12.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 12.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 12.2

$u_{2} = 2 u_{1}$ 의 $u_{1}$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

단계 12.3

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 0$

단계 12.4

$u_{2} = 2 u_{1}$ 의 $u_{1}$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

단계 12.5

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.5.1

공약수로 약분합니다.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

단계 12.5.2

수식을 다시 씁니다.

$u_{upper} = π$

단계 12.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

단계 12.7

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{3}{2} (u_{1}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

단계 13

$\cos (u_{2})$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{3}{2} (u_{1}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

단계 14

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{3}{2} (u_{1}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2})$

단계 15

$\cos (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\sin (u_{2})$ 입니다.

$\frac{3}{2} (u_{1}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{π})$

단계 16

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.1

$\frac{π}{2}$ , $0$ 일 때, $u_{1}$ 값을 계산합니다.

$\frac{3}{2} ((\frac{π}{2}) + 0 + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{π})$

단계 16.2

$π$ , $0$ 일 때, $\sin (u_{2})$ 값을 계산합니다.

$\frac{3}{2} ((\frac{π}{2}) + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (0)))$

단계 16.3

$\frac{π}{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{3}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} (\sin (π) - \sin (0)))$

단계 17

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.1

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{3}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} (\sin (π) - 0))$

단계 17.2

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} (\sin (π) + 0))$

단계 17.3

$\sin (π)$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{3}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} \sin (π))$

단계 17.4

$\frac{1}{2}$ 와 $\sin (π)$ 을 묶습니다.

$\frac{3}{2} (\frac{π}{2} + \frac{\sin (π)}{2})$

단계 18

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 18.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{π + \sin (π)}{2}$

단계 18.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 18.2.1

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{π + \sin (0)}{2}$

단계 18.2.2

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{π + 0}{2}$

단계 18.3

$π$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$

단계 18.4

$\frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 18.4.1

$\frac{3}{2}$ 에 $\frac{π}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{3 π}{2 \cdot 2}$

단계 18.4.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{3 π}{4}$

단계 19

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{3 π}{4}$

소수 형태:

$2.35619449 \dots$