미적분 예제

$\frac{2}{\sqrt{4 x + 3}} - \frac{4}{x^{5}}$

단계 1

$\frac{2}{\sqrt{4 x + 3}} - \frac{4}{x^{5}}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = \frac{2}{\sqrt{4 x + 3}} - \frac{4}{x^{5}}$

단계 2

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 3

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int \frac{2}{\sqrt{4 x + 3}} - \frac{4}{x^{5}} d x$

단계 4

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int \frac{2}{\sqrt{4 x + 3}} d x + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

단계 5

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 \int \frac{1}{\sqrt{4 x + 3}} d x + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

단계 6

먼저 $u = 4 x + 3$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 4 d x$ 이므로 $\frac{1}{4} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$u = 4 x + 3$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 6.1.1

$4 x + 3$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [4 x + 3]$

단계 6.1.2

합의 법칙에 의해 $4 x + 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$

단계 6.1.3

$\frac{d}{d x} [4 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 6.1.3.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

단계 6.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

단계 6.1.3.3

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 + \frac{d}{d x} [3]$

단계 6.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 6.1.4.1

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$4 + 0$

단계 6.1.4.2

$4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$4$

단계 6.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$2 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{4} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

$\frac{1}{\sqrt{u}}$ 에 $\frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

$2 \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 4} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

단계 7.2

$\sqrt{u}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$2 \int \frac{1}{4 \sqrt{u}} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

단계 8

$\frac{1}{4}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u) + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

단계 9

식을 간단히 합니다.

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단계 9.1

간단히 합니다.

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단계 9.1.1

$\frac{1}{4}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

단계 9.1.2

$2$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 9.1.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (1)}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

단계 9.1.2.2

공약수로 약분합니다.

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단계 9.1.2.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

단계 9.1.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

단계 9.1.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

단계 9.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 9.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

단계 9.2.2

$u^{\frac{1}{2}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

단계 9.2.3

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 9.2.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

단계 9.2.3.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

단계 9.2.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

단계 10

멱의 법칙에 의해 $u^{- \frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

단계 11

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - \int \frac{4}{x^{5}} d x$

단계 12

$4$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - (4 \int \frac{1}{x^{5}} d x)$

단계 13

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 4 \int \frac{1}{x^{5}} d x$

단계 13.2

$x^{5}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 4 \int {(x^{5})}^{- 1} d x$

단계 13.3

${(x^{5})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 13.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 4 \int x^{5 \cdot - 1} d x$

단계 13.3.2

$5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 4 \int x^{- 5} d x$

단계 14

멱의 법칙에 의해 $x^{- 5}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 4 (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C)$

단계 15

간단히 합니다.

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단계 15.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1.1

$x^{- 4}$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 4 (- \frac{x^{- 4}}{4} + C)$

단계 15.1.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- 4}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C)$

단계 15.2

간단히 합니다.

$u^{\frac{1}{2}} - 4 (- \frac{1}{4 x^{4}}) + C$

단계 15.3

간단히 합니다.

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단계 15.3.1

$- 1$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$u^{\frac{1}{2}} + 4 \frac{1}{4 x^{4}} + C$

단계 15.3.2

$4$ 와 $\frac{1}{4 x^{4}}$ 을 묶습니다.

$u^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{4 x^{4}} + C$

단계 15.3.3

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.3.3.1

공약수로 약분합니다.

$u^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{4 x^{4}} + C$

단계 15.3.3.2

수식을 다시 씁니다.

$u^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{4}} + C$

단계 16

$u$ 를 모두 $4 x + 3$ 로 바꿉니다.

${(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{4}} + C$

단계 17

답은 함수 $f (x) = \frac{2}{\sqrt{4 x + 3}} - \frac{4}{x^{5}}$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ ${(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{4}} + C$