미적분 예제

$\int - 2 (5 x^{2} + 2 x) e^{3 x} d x$

단계 1

간단히 합니다.

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단계 1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\int (- 2 (5 x^{2}) - 2 (2 x)) e^{3 x} d x$

단계 1.2

$5$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\int (- 10 x^{2} - 2 (2 x)) e^{3 x} d x$

단계 1.3

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\int (- 10 x^{2} - 4 x) e^{3 x} d x$

단계 1.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\int - 10 x^{2} e^{3 x} - 4 x e^{3 x} d x$

단계 2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int - 10 x^{2} e^{3 x} d x + \int - 4 x e^{3 x} d x$

단계 3

$- 10$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 10$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- 10 \int x^{2} e^{3 x} d x + \int - 4 x e^{3 x} d x$

단계 4

$u = x^{2}$ 이고 $d v = e^{3 x}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$- 10 (x^{2} (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} (2 x) d x) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

$\frac{1}{3}$ 와 $e^{3 x}$ 을 묶습니다.

$- 10 (x^{2} \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} (2 x) d x) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

단계 5.2

$x^{2}$ 와 $\frac{e^{3 x}}{3}$ 을 묶습니다.

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} (2 x) d x) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

단계 5.3

$\frac{1}{3}$ 와 $e^{3 x}$ 을 묶습니다.

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \int \frac{e^{3 x}}{3} (2 x) d x) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

단계 5.4

$2$ 와 $\frac{e^{3 x}}{3}$ 을 묶습니다.

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \int \frac{2 e^{3 x}}{3} x d x) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

단계 5.5

$\frac{2 e^{3 x}}{3}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \int \frac{2 e^{3 x} x}{3} d x) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

단계 6

$\frac{2}{3}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{2}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - (\frac{2}{3} \int e^{3 x} x d x)) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

단계 7

$u = x$ 이고 $d v = e^{3 x}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (x (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

$\frac{1}{3}$ 와 $e^{3 x}$ 을 묶습니다.

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (x \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

단계 8.2

$x$ 와 $\frac{e^{3 x}}{3}$ 을 묶습니다.

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

단계 8.3

$\frac{1}{3}$ 와 $e^{3 x}$ 을 묶습니다.

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{e^{3 x}}{3} d x)) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

단계 9

$\frac{1}{3}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \int e^{3 x} d x))) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

단계 10

먼저 $u_{1} = 3 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = 3 d x$ 이므로 $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 10.1

$u_{1} = 3 x$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 10.1.1

$3 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [3 x]$

단계 10.1.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x]$

단계 10.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \cdot 1$

단계 10.1.4

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3$

단계 10.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int e^{u_{1}} \frac{1}{3} d u_{1})) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

단계 11

$e^{u_{1}}$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{e^{u_{1}}}{3} d u_{1})) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

단계 12

$\frac{1}{3}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1}))) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

단계 13

간단히 합니다.

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단계 13.1

$\frac{1}{3}$ 에 $\frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u_{1}} d u_{1})) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

단계 13.2

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u_{1}} d u_{1})) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

단계 14

$e^{u_{1}}$ 를 $u_{1}$ 에 대해 적분하면 $e^{u_{1}}$ 입니다.

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C))) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

단계 15

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C))) - 4 \int x e^{3 x} d x$

단계 16

$u = x$ 이고 $d v = e^{3 x}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C))) - 4 (x (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)$

단계 17

간단히 합니다.

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단계 17.1

$\frac{1}{3}$ 와 $e^{3 x}$ 을 묶습니다.

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C))) - 4 (x \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)$

단계 17.2

$x$ 와 $\frac{e^{3 x}}{3}$ 을 묶습니다.

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C))) - 4 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)$

단계 17.3

$\frac{1}{3}$ 와 $e^{3 x}$ 을 묶습니다.

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C))) - 4 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{e^{3 x}}{3} d x)$

단계 18

$\frac{1}{3}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C))) - 4 (\frac{x e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \int e^{3 x} d x))$

단계 19

먼저 $u_{2} = 3 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = 3 d x$ 이므로 $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.1

$u_{2} = 3 x$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 19.1.1

$3 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [3 x]$

단계 19.1.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x]$

단계 19.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \cdot 1$

단계 19.1.4

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3$

단계 19.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C))) - 4 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int e^{u_{2}} \frac{1}{3} d u_{2})$

단계 20

$e^{u_{2}}$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C))) - 4 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2})$

단계 21

$\frac{1}{3}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C))) - 4 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2}))$

단계 22

간단히 합니다.

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단계 22.1

$\frac{1}{3}$ 에 $\frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C))) - 4 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

단계 22.2

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C))) - 4 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

단계 23

$e^{u_{2}}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $e^{u_{2}}$ 입니다.

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C))) - 4 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{2}} + C))$

단계 24

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 24.1

간단히 합니다.

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2 x e^{3 x}}{9} + \frac{2 e^{u_{1}}}{27}) - 4 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} e^{u_{2}}) + C$

단계 24.2

$e^{u_{2}}$ 와 $\frac{1}{9}$ 을 묶습니다.

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2 x e^{3 x}}{9} + \frac{2 e^{u_{1}}}{27}) - 4 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{u_{2}}}{9}) + C$

단계 25

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

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단계 25.1

$u_{1}$ 를 모두 $3 x$ 로 바꿉니다.

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2 x e^{3 x}}{9} + \frac{2 e^{3 x}}{27}) - 4 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{u_{2}}}{9}) + C$

단계 25.2

$u_{2}$ 를 모두 $3 x$ 로 바꿉니다.

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2 x e^{3 x}}{9} + \frac{2 e^{3 x}}{27}) - 4 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{3 x}}{9}) + C$

단계 26

항을 다시 정렬합니다.

$- 10 (\frac{1}{3} x^{2} e^{3 x} - \frac{2}{9} x e^{3 x} + \frac{2}{27} e^{3 x}) - 4 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x}) + C$