미적분 예제

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} - 2 x + \sin (x)}{x}$

단계 1

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 1.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 1.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x + \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2

분자의 극한을 구하세요.

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단계 1.1.2.1

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.2

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $x^{2}$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.3

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.4

사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 0} x + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.5

$x$ 가 있는 모든 곳에 $0$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

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단계 1.1.2.5.1

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0^{2} - 2 lim_{x \to 0} x + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.5.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0^{2} - 2 \cdot 0 + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.5.3

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0^{2} - 2 \cdot 0 + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.6

답을 간단히 합니다.

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단계 1.1.2.6.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.1.2.6.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{0 - 2 \cdot 0 + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.6.1.2

$- 2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{0 + 0 + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.6.1.3

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{0 + 0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.6.2

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.6.3

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.3

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} - 2 x + \sin (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 1.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.2

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 2 x + \sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.4

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.4.1

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.4.3

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 2 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.5

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 2 + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 2 + \cos (x)}{1}$

단계 1.4

$2 x - 2 + \cos (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$lim_{x \to 0} 2 x - 2 + \cos (x)$

단계 2

극한값을 계산합니다.

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단계 2.1

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$lim_{x \to 0} 2 x - lim_{x \to 0} 2 + lim_{x \to 0} \cos (x)$

단계 2.2

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$2 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 2 + lim_{x \to 0} \cos (x)$

단계 2.3

$x$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $2$ 의 극한을 구합니다.

$2 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2 + lim_{x \to 0} \cos (x)$

단계 2.4

코사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$2 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2 + \cos (lim_{x \to 0} x)$

단계 3

$x$ 가 있는 모든 곳에 $0$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

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단계 3.1

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$2 \cdot 0 - 1 \cdot 2 + \cos (lim_{x \to 0} x)$

단계 3.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$2 \cdot 0 - 1 \cdot 2 + \cos (0)$

단계 4

답을 간단히 합니다.

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단계 4.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.1.1

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 - 1 \cdot 2 + \cos (0)$

단계 4.1.2

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$0 - 2 + \cos (0)$

단계 4.1.3

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$0 - 2 + 1$

단계 4.2

$0$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$- 2 + 1$

단계 4.3

$- 2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- 1$