미적분 예제

$f (x) = {(1 - 2 x)}^{3}$

단계 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.1

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = 1 - 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $1 - 2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

단계 1.1.1.1.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

단계 1.1.1.1.3

$u$ 를 모두 $1 - 2 x$ 로 바꿉니다.

$3 {(1 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

단계 1.1.1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $1 - 2 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ 가 됩니다.

$3 {(1 - 2 x)}^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

단계 1.1.1.2.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$3 {(1 - 2 x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

단계 1.1.1.2.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 에 더합니다.

$3 {(1 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

단계 1.1.1.2.4

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 {(1 - 2 x)}^{2} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.1.1.2.5

$- 2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- 6 {(1 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.1.2.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 6 {(1 - 2 x)}^{2} \cdot 1$

단계 1.1.1.2.7

$- 6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = - 6 {(1 - 2 x)}^{2}$

단계 1.1.2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

${(1 - 2 x)}^{2}$ 을 $(1 - 2 x) (1 - 2 x)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [- 6 ((1 - 2 x) (1 - 2 x))]$

단계 1.1.2.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(1 - 2 x) (1 - 2 x)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 (1 - 2 x) - 2 x (1 - 2 x))]$

단계 1.1.2.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 \cdot 1 + 1 (- 2 x) - 2 x (1 - 2 x))]$

단계 1.1.2.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 \cdot 1 + 1 (- 2 x) - 2 x \cdot 1 - 2 x (- 2 x))]$

단계 1.1.2.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.3.1.1

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 + 1 (- 2 x) - 2 x \cdot 1 - 2 x (- 2 x))]$

단계 1.1.2.3.1.2

$- 2 x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 - 2 x - 2 x \cdot 1 - 2 x (- 2 x))]$

단계 1.1.2.3.1.3

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 - 2 x - 2 x - 2 x (- 2 x))]$

단계 1.1.2.3.1.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 - 2 x - 2 x - 2 \cdot - 2 x \cdot x)]$

단계 1.1.2.3.1.5

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.3.1.5.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 - 2 x - 2 x - 2 \cdot - 2 (x \cdot x))]$

단계 1.1.2.3.1.5.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 - 2 x - 2 x - 2 \cdot - 2 x^{2})]$

단계 1.1.2.3.1.6

$- 2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 - 2 x - 2 x + 4 x^{2})]$

단계 1.1.2.3.2

$- 2 x$ 에서 $2 x$ 을 뺍니다.

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 - 4 x + 4 x^{2})]$

단계 1.1.2.4

$- 6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 6 (1 - 4 x + 4 x^{2})$ 의 미분은 $- 6 \frac{d}{d x} [1 - 4 x + 4 x^{2}]$ 입니다.

$- 6 \frac{d}{d x} [1 - 4 x + 4 x^{2}]$

단계 1.1.2.5

합의 법칙에 의해 $1 - 4 x + 4 x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ 가 됩니다.

$- 6 (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

단계 1.1.2.6

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$- 6 (0 + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

단계 1.1.2.7

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ 에 더합니다.

$- 6 (\frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

단계 1.1.2.8

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 4 x$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 6 (- 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

단계 1.1.2.9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 6 (- 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

단계 1.1.2.10

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 6 (- 4 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

단계 1.1.2.11

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{2}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$- 6 (- 4 + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 1.1.2.12

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 6 (- 4 + 4 (2 x))$

단계 1.1.2.13

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- 6 (- 4 + 8 x)$

단계 1.1.2.14

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.14.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- 6 \cdot - 4 - 6 (8 x)$

단계 1.1.2.14.2

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.14.2.1

$- 6$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$24 - 6 (8 x)$

단계 1.1.2.14.2.2

$8$ 에 $- 6$ 을 곱합니다.

$24 - 48 x$

단계 1.1.2.14.3

항을 다시 정렬합니다.

$f'' (x) = - 48 x + 24$

단계 1.1.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $- 48 x + 24$ 입니다.

$- 48 x + 24$

단계 1.2

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $- 48 x + 24 = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$- 48 x + 24 = 0$

단계 1.2.2

방정식의 양변에서 $24$ 를 뺍니다.

$- 48 x = - 24$

단계 1.2.3

$- 48 x = - 24$ 의 각 항을 $- 48$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

$- 48 x = - 24$ 의 각 항을 $- 48$ 로 나눕니다.

$\frac{- 48 x}{- 48} = \frac{- 24}{- 48}$

단계 1.2.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1

$- 48$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 48 x}{- 48} = \frac{- 24}{- 48}$

단계 1.2.3.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 24}{- 48}$

단계 1.2.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.3.1

$- 24$ 및 $- 48$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.3.1.1

$- 24$ 에서 $- 24$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 24 (1)}{- 48}$

단계 1.2.3.3.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.3.1.2.1

$- 48$ 에서 $- 24$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 24 \cdot 1}{- 24 \cdot 2}$

단계 1.2.3.3.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$x = \frac{- 24 \cdot 1}{- 24 \cdot 2}$

단계 1.2.3.3.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$x = \frac{1}{2}$

단계 2

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 3

2차 도함수가 0이거나 정의되지 않은 $x$ -값 주변에 구간을 만듭니다.

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

단계 4

$(- \infty, \frac{1}{2})$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f'' (0) = - 48 \cdot 0 + 24$

단계 4.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$- 48$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f'' (0) = 0 + 24$

단계 4.2.2

$0$ 를 $24$ 에 더합니다.

$f'' (0) = 24$

단계 4.2.3

최종 답은 $24$ 입니다.

$24$

단계 4.3

$f'' (0)$ 이 양수이므로 그래프는 $(- \infty, \frac{1}{2})$ 구간에서 위로 오목합니다.

위로 오목한 그래프

단계 5

$(\frac{1}{2}, \infty)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $3$ 을 대입합니다.

$f'' (3) = - 48 \cdot 3 + 24$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$- 48$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f'' (3) = - 144 + 24$

단계 5.2.2

$- 144$ 를 $24$ 에 더합니다.

$f'' (3) = - 120$

단계 5.2.3

최종 답은 $- 120$ 입니다.

$- 120$

단계 5.3

$f'' (3)$ 이 음수이므로 그래프는 $(\frac{1}{2}, \infty)$ 구간에서 아래로 오목합니다.

아래로 오목한 그래프

단계 6

2차 미분값이 음수이면 그래프는 아래로 오목하고, 2차 미분값이 양수이면 그래프는 위로 오목합니다.

위로 오목한 그래프

아래로 오목한 그래프

단계 7