미적분 예제

$f (x) = \cos^{4} (x)$

단계 1

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 2

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int \cos^{4} (x) d x$

단계 3

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\int {\cos (x)}^{2 (2)} d x$

단계 3.2

${\cos (x)}^{2 (2)}$ 을 지수 형태로 바꿔 씁니다.

$\int {(\cos^{2} (x))}^{2} d x$

단계 4

반각 공식을 이용해 $\cos^{2} (x)$ 를 $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int {(\frac{1 + \cos (2 x)}{2})}^{2} d x$

단계 5

먼저 $u_{1} = 2 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 5.1

$u_{1} = 2 x$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 5.1.1

$2 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

단계 5.1.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 5.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 5.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 5.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int {(\frac{1 + \cos (u_{1})}{2})}^{2} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 6

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int {(\frac{1 + \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

단계 7

항을 간단히 합니다.

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단계 7.1

$\frac{1 + \cos (u_{1})}{2}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} \int {(\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1})))}^{2} d u_{1}$

단계 7.2

${(\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1})))}^{2}$ 을 전개합니다.

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단계 7.2.1

거듭제곱을 곱의 형태로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1}))) d u_{1}$

단계 7.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} \int (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1}))) d u_{1}$

단계 7.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} \int (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

단계 7.2.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

단계 7.2.5

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

단계 7.2.6

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

단계 7.2.7