미적분 예제

$\frac{1}{e^{x} - 1}$

단계 1

$\frac{1}{e^{x} - 1}$ 을 ${(e^{x} - 1)}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [{(e^{x} - 1)}^{- 1}]$

단계 2

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = e^{x} - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $e^{x} - 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]$

단계 2.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $e^{x} - 1$ 로 바꿉니다.

$- {(e^{x} - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]$

단계 3

합의 법칙에 의해 $e^{x} - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$- {(e^{x} - 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 4

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- {(e^{x} - 1)}^{- 2} (e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 5

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 5.1

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$- {(e^{x} - 1)}^{- 2} (e^{x} + 0)$

단계 5.2

$e^{x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- {(e^{x} - 1)}^{- 2} e^{x}$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{{(e^{x} - 1)}^{2}} e^{x}$

단계 6.2

$e^{x}$ 와 $\frac{1}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{e^{x}}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$