미적분 예제

$\int 5 u^{2} {(3 + 2 u^{3})}^{\frac{2}{3}} d u$

단계 1

$5$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $5$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$5 \int u^{2} {(3 + 2 u^{3})}^{\frac{2}{3}} d u$

단계 2

먼저 $u_{1} = 3 + 2 u^{3}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = 6 u^{2} d u$ 이므로 $\frac{1}{6} d u_{1} = u^{2} d u$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 2.1

$u_{1} = 3 + 2 u^{3}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d u}$ 를 구합니다.

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단계 2.1.1

$3 + 2 u^{3}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d u} [3 + 2 u^{3}]$

단계 2.1.2

미분합니다.

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단계 2.1.2.1

합의 법칙에 의해 $3 + 2 u^{3}$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d u} [3] + \frac{d}{d u} [2 u^{3}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d u} [3] + \frac{d}{d u} [2 u^{3}]$

단계 2.1.2.2

$3$ 이 $u$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d u} [2 u^{3}]$

단계 2.1.3

$\frac{d}{d u} [2 u^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1.3.1

$2$ 은 $u$ 에 대해 일정하므로 $u$ 에 대한 $2 u^{3}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d u} [u^{3}]$ 입니다.

$0 + 2 \frac{d}{d u} [u^{3}]$

단계 2.1.3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 2 (3 u^{2})$

단계 2.1.3.3

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$0 + 6 u^{2}$

단계 2.1.4

$0$ 를 $6 u^{2}$ 에 더합니다.

$6 u^{2}$

단계 2.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$5 \int {u_{1}}^{\frac{2}{3}} \frac{1}{6} d u_{1}$

단계 3

${u_{1}}^{\frac{2}{3}}$ 와 $\frac{1}{6}$ 을 묶습니다.

$5 \int \frac{{u_{1}}^{\frac{2}{3}}}{6} d u_{1}$

단계 4

$\frac{1}{6}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{6}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$5 (\frac{1}{6} \int {u_{1}}^{\frac{2}{3}} d u_{1})$

단계 5

$\frac{1}{6}$ 와 $5$ 을 묶습니다.

$\frac{5}{6} \int {u_{1}}^{\frac{2}{3}} d u_{1}$

단계 6

멱의 법칙에 의해 ${u_{1}}^{\frac{2}{3}}$ 를 $u_{1}$ 에 대해 적분하면 $\frac{3}{5} {u_{1}}^{\frac{5}{3}}$ 가 됩니다.

$\frac{5}{6} (\frac{3}{5} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C)$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

$\frac{5}{6} (\frac{3}{5} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C)$ 을 $\frac{5}{6} \cdot \frac{3}{5} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{5}{6} \cdot \frac{3}{5} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C$

단계 7.2

간단히 합니다.

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단계 7.2.1

$\frac{5}{6}$ 에 $\frac{3}{5}$ 을 곱합니다.

$\frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 5} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C$

단계 7.2.2

$5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{15}{6 \cdot 5} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C$

단계 7.2.3

$6$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{15}{30} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C$

단계 7.2.4

$15$ 및 $30$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.2.4.1

$15$ 에서 $15$ 를 인수분해합니다.

$\frac{15 (1)}{30} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C$

단계 7.2.4.2

공약수로 약분합니다.

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단계 7.2.4.2.1

$30$ 에서 $15$ 를 인수분해합니다.

$\frac{15 \cdot 1}{15 \cdot 2} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C$

단계 7.2.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{15 \cdot 1}{15 \cdot 2} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C$

단계 7.2.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C$

단계 8

$u_{1}$ 를 모두 $3 + 2 u^{3}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} {(3 + 2 u^{3})}^{\frac{5}{3}} + C$