미적분 예제

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin (x)}{1 + \cos^{2} (x)} d x$

단계 1

먼저 $u = \cos (x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - \sin (x) d x$ 이므로 $- d u = \sin (x) d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = \cos (x)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$\cos (x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 1.1.2

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$- \sin (x)$

단계 1.2

$u = \cos (x)$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = \cos (0)$

단계 1.3

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$u_{lower} = 1$

단계 1.4

$u = \cos (x)$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

단계 1.5

$\cos (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$u_{upper} = 0$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

단계 1.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{1}^{0} \frac{- 1}{1 + u^{2}} d u$

단계 2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int_{1}^{0} - \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

단계 3

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int_{1}^{0} \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

단계 4

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \int_{1}^{0} \frac{1}{1^{2} + u^{2}} d u$

단계 5

$\frac{1}{1^{2} + u^{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\arctan (u)]_{1}^{0}$ 입니다.

$- (\arctan (u)]_{1}^{0})$

단계 6

$0$ , $1$ 일 때, $\arctan (u)$ 값을 계산합니다.

$- (\arctan (0) - \arctan (1))$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 7.1.1

$\arctan (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$- (0 - \arctan (1))$

단계 7.1.2

$\arctan (1)$ 의 정확한 값은 $\frac{π}{4}$ 입니다.

$- (0 - \frac{π}{4})$

단계 7.2

$0$ 에서 $\frac{π}{4}$ 을 뺍니다.

$- - \frac{π}{4}$

단계 7.3

$- - \frac{π}{4}$ 을 곱합니다.

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단계 7.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 \frac{π}{4}$

단계 7.3.2

$\frac{π}{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{π}{4}$

단계 8

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{π}{4}$

소수 형태:

$0.78539816 \dots$