미적분 예제

$\frac{\ln^{2} (x)}{x}$

단계 1

$f (x) = \ln^{2} (x)$ , $g (x) = x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)] - \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \ln (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\ln (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x (2 u \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $\ln (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{x (2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 3

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$\frac{x (2 \ln (x) \frac{1}{x}) - \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 4

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

$\frac{1}{x}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{x (\frac{2}{x} \ln (x)) - \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 4.2

항을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

$\frac{2}{x}$ 와 $\ln (x)$ 을 묶습니다.

$\frac{x \frac{2 \ln (x)}{x} - \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 4.2.2

$x$ 와 $\frac{2 \ln (x)}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{x (2 \ln (x))}{x} - \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 4.2.3

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\frac{x (2 \ln (x))}{x} - \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 4.2.3.2

$2 \ln (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{2 \ln (x) - \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 4.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2 \ln (x) - \ln^{2} (x) \cdot 1}{x^{2}}$

단계 4.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 \ln (x) - \ln^{2} (x)}{x^{2}}$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

$2$ 를 로그 안으로 옮겨 $2 \ln (x)$ 을 간단히 합니다.

$\frac{\ln (x^{2}) - \ln^{2} (x)}{x^{2}}$

단계 5.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{- \ln^{2} (x) + \ln (x^{2})}{x^{2}}$