미적분 예제

$x^{\frac{2}{3}} - 3$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

합의 법칙에 의해 $x^{\frac{2}{3}} - 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.2.1

$n = \frac{2}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [- 3]$

단계 1.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

단계 1.2.3

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

단계 1.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

단계 1.2.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.2.5.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

단계 1.2.5.2

$2$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

단계 1.2.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

단계 1.3

$- 3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 3$ 입니다.

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + 0$

단계 1.4

간단히 합니다.

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단계 1.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} + 0$

단계 1.4.2

항을 묶습니다.

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단계 1.4.2.1

$\frac{2}{3}$ 에 $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 0$

단계 1.4.2.2

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

$\frac{2}{3}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ 의 미분은 $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ 입니다.

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$

단계 2.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 2.2.1

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ 을 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

단계 2.2.2

${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3} \cdot - 1}]$

단계 2.2.2.2

$\frac{1}{3}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{3}}]$

단계 2.2.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{3}}]$

단계 2.3

$n = - \frac{1}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} - 1})$

단계 2.4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

단계 2.5

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

단계 2.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}})$

단계 2.7

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.7.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 1 - 3}{3}})$

단계 2.7.2

$- 1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 4}{3}})$

단계 2.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x^{- \frac{4}{3}})$

단계 2.9

$x^{- \frac{4}{3}}$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{3} (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

단계 2.10

$\frac{2}{3}$ 에 $\frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3}$ 을 곱합니다.

$- \frac{2 x^{- \frac{4}{3}}}{3 \cdot 3}$

단계 2.11

곱합니다.

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단계 2.11.1

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- \frac{2 x^{- \frac{4}{3}}}{9}$

단계 2.11.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{4}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}}$