미적분 예제

$\frac{x^{2}}{1 + x}$

단계 1

$\frac{x^{2}}{1 + x}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = \frac{x^{2}}{1 + x}$

단계 2

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 3

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int \frac{x^{2}}{1 + x} d x$

단계 4

$1$ 와 $x$ 을 다시 정렬합니다.

$\int \frac{x^{2}}{x + 1} d x$

단계 5

$x^{2}$ 을 $x + 1$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

단계 5.2

피제수 $x^{2}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$x$
	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

단계 5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$

단계 5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x^{2} + x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$

단계 5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$

단계 5.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$

단계 5.7

피제수 $- x$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$

단계 5.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$
					-	$x$	-	$1$

단계 5.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- x - 1$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$
					+	$x$	+	$1$

단계 5.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$
					+	$x$	+	$1$
							+	$1$

단계 5.11

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$\int x - 1 + \frac{1}{x + 1} d x$

단계 6

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int x d x + \int - 1 d x + \int \frac{1}{x + 1} d x$

단계 7

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 1 d x + \int \frac{1}{x + 1} d x$

단계 8

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - x + C + \int \frac{1}{x + 1} d x$

단계 9

먼저 $u = x + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$u = x + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1

$x + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

단계 9.1.2

합의 법칙에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 9.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 9.1.4

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$1 + 0$

단계 9.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 9.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - x + C + \int \frac{1}{u} d u$

단계 10

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - x + C + \ln (| u |) + C$

단계 11

간단히 합니다.

$\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |) + C$

단계 12

$u$ 를 모두 $x + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| x + 1 |) + C$

단계 13

답은 함수 $f (x) = \frac{x^{2}}{1 + x}$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| x + 1 |) + C$