미적분 예제

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} 4 \sec^{4} (θ) \tan^{4} (θ) d θ$

단계 1

$4$ 은 $θ$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$4 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{4} (θ) \tan^{4} (θ) d θ$

단계 2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$4$ 를 $2$ + $2$ 로 다시 씁니다.

$4 \int_{0}^{\frac{π}{4}} {\sec (θ)}^{2 + 2} \tan^{4} (θ) d θ$

단계 2.2

${\sec (θ)}^{2 + 2}$ 을 $\sec^{2} (θ) \sec^{2} (θ)$ 로 바꿔 씁니다.

$4 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (θ) \sec^{2} (θ) \tan^{4} (θ) d θ$

단계 3

피타고라스 항등식을 이용하여 $\sec^{2} (θ)$ 를 $1 + \tan^{2} (θ)$ 로 바꿔 씁니다.

$4 \int_{0}^{\frac{π}{4}} (1 + \tan^{2} (θ)) \sec^{2} (θ) \tan^{4} (θ) d θ$

단계 4

먼저 $u = \tan (θ)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \sec^{2} (θ) d θ$ 이므로 $\frac{1}{\sec^{2} (θ)} d u = d θ$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 4.1

$u = \tan (θ)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d θ}$ 를 구합니다.

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단계 4.1.1

$\tan (θ)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$

단계 4.1.2

$\tan (θ)$ 를 $θ$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (θ)$ 입니다.

$\sec^{2} (θ)$

단계 4.2

$u = \tan (θ)$ 의 $θ$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = \tan (0)$

단계 4.3

$\tan (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$u_{lower} = 0$

단계 4.4

$u = \tan (θ)$ 의 $θ$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = \tan (\frac{π}{4})$

단계 4.5

$\tan (\frac{π}{4})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$u_{upper} = 1$

단계 4.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

단계 4.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$4 \int_{0}^{1} (1 + u^{2}) u^{4} d u$

단계 5

$(1 + u^{2}) u^{4}$ 을 곱합니다.

$4 \int_{0}^{1} 1 u^{4} + u^{2} u^{4} d u$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

$u^{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 \int_{0}^{1} u^{4} + u^{2} u^{4} d u$

단계 6.2

지수를 더하여 $u^{2}$ 에 $u^{4}$ 을 곱합니다.

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단계 6.2.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$4 \int_{0}^{1} u^{4} + u^{2 + 4} d u$

단계 6.2.2

$2$ 를 $4$ 에 더합니다.

$4 \int_{0}^{1} u^{4} + u^{6} d u$

단계 7

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$4 (\int_{0}^{1} u^{4} d u + \int_{0}^{1} u^{6} d u)$

단계 8

멱의 법칙에 의해 $u^{4}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{5} u^{5}$ 가 됩니다.

$4 (\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} u^{6} d u)$

단계 9

$\frac{1}{5}$ 와 $u^{5}$ 을 묶습니다.

$4 (\frac{u^{5}}{5}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} u^{6} d u)$

단계 10

멱의 법칙에 의해 $u^{6}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{7} u^{7}$ 가 됩니다.

$4 (\frac{u^{5}}{5}]_{0}^{1} + \frac{1}{7} u^{7}]_{0}^{1})$

단계 11

간단히 합니다.

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단계 11.1

$\frac{u^{5}}{5}]_{0}^{1}$ 와 $\frac{1}{7} u^{7}]_{0}^{1}$ 을 묶습니다.

$4 (\frac{u^{5}}{5} + \frac{1}{7} u^{7}]_{0}^{1})$

단계 11.2

$\frac{1}{7}$ 와 $u^{7}$ 을 묶습니다.

$4 (\frac{u^{5}}{5} + \frac{u^{7}}{7}]_{0}^{1})$

단계 12

대입하여 간단히 합니다.

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단계 12.1

$1$ , $0$ 일 때, $\frac{u^{5}}{5} + \frac{u^{7}}{7}$ 값을 계산합니다.

$4 ((\frac{1^{5}}{5} + \frac{1^{7}}{7}) - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

단계 12.2

간단히 합니다.

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단계 12.2.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$4 (\frac{1}{5} + \frac{1^{7}}{7} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

단계 12.2.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$4 (\frac{1}{5} + \frac{1}{7} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

단계 12.2.3

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{5}$ 을 표현하기 위해 $\frac{7}{7}$ 을 곱합니다.

$4 (\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{7} + \frac{1}{7} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

단계 12.2.4

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{7}$ 을 표현하기 위해 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$4 (\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{7} + \frac{1}{7} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

단계 12.2.5

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $35$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 12.2.5.1

$\frac{1}{5}$ 에 $\frac{7}{7}$ 을 곱합니다.

$4 (\frac{7}{5 \cdot 7} + \frac{1}{7} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

단계 12.2.5.2

$5$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$4 (\frac{7}{35} + \frac{1}{7} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

단계 12.2.5.3

$\frac{1}{7}$ 에 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$4 (\frac{7}{35} + \frac{5}{7 \cdot 5} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

단계 12.2.5.4

$7$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$4 (\frac{7}{35} + \frac{5}{35} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

단계 12.2.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$4 (\frac{7 + 5}{35} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

단계 12.2.7

$7$ 를 $5$ 에 더합니다.

$4 (\frac{12}{35} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

단계 12.2.8

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$4 (\frac{12}{35} - (\frac{0}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

단계 12.2.9

$0$ 및 $5$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 12.2.9.1

$0$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$4 (\frac{12}{35} - (\frac{5 (0)}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

단계 12.2.9.2

공약수로 약분합니다.

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단계 12.2.9.2.1

$5$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$4 (\frac{12}{35} - (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + \frac{0^{7}}{7}))$

단계 12.2.9.2.2

공약수로 약분합니다.

$4 (\frac{12}{35} - (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + \frac{0^{7}}{7}))$

단계 12.2.9.2.3

수식을 다시 씁니다.

$4 (\frac{12}{35} - (\frac{0}{1} + \frac{0^{7}}{7}))$

단계 12.2.9.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$4 (\frac{12}{35} - (0 + \frac{0^{7}}{7}))$

단계 12.2.10

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$4 (\frac{12}{35} - (0 + \frac{0}{7}))$

단계 12.2.11

$0$ 및 $7$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.11.1

$0$ 에서 $7$ 를 인수분해합니다.

$4 (\frac{12}{35} - (0 + \frac{7 (0)}{7}))$

단계 12.2.11.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.11.2.1

$7$ 에서 $7$ 를 인수분해합니다.

$4 (\frac{12}{35} - (0 + \frac{7 \cdot 0}{7 \cdot 1}))$

단계 12.2.11.2.2

공약수로 약분합니다.

$4 (\frac{12}{35} - (0 + \frac{7 \cdot 0}{7 \cdot 1}))$

단계 12.2.11.2.3

수식을 다시 씁니다.

$4 (\frac{12}{35} - (0 + \frac{0}{1}))$

단계 12.2.11.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$4 (\frac{12}{35} - (0 + 0))$

단계 12.2.12

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$4 (\frac{12}{35} - 0)$

단계 12.2.13

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$4 (\frac{12}{35} + 0)$

단계 12.2.14

$\frac{12}{35}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$4 (\frac{12}{35})$

단계 12.2.15

$4$ 와 $\frac{12}{35}$ 을 묶습니다.

$\frac{4 \cdot 12}{35}$

단계 12.2.16

$4$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$\frac{48}{35}$

단계 13

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{48}{35}$

소수 형태:

$1.37142857 \dots$

대분수 형식:

$1 \frac{13}{35}$