미적분 예제

$\int 6 (3 x + 1) e^{15 x^{2} + 10 x - 15} d x$

단계 1

$6$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $6$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$6 \int (3 x + 1) e^{15 x^{2} + 10 x - 15} d x$

단계 2

먼저 $u = 15 x^{2} + 10 x - 15$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = (30 x + 10) d x$ 이므로 $\frac{1}{10} d u = (3 x + 1) d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 2.1

$u = 15 x^{2} + 10 x - 15$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 2.1.1

$15 x^{2} + 10 x - 15$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [15 x^{2} + 10 x - 15]$

단계 2.1.2

합의 법칙에 의해 $15 x^{2} + 10 x - 15$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 15]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 15]$

단계 2.1.3

$\frac{d}{d x} [15 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1.3.1

$15$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $15 x^{2}$ 의 미분은 $15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$15 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 15]$

단계 2.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$15 (2 x) + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 15]$

단계 2.1.3.3

$2$ 에 $15$ 을 곱합니다.

$30 x + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 15]$

단계 2.1.4

$\frac{d}{d x} [10 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1.4.1

$10$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $10 x$ 의 미분은 $10 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$30 x + 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 15]$

단계 2.1.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$30 x + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 15]$

단계 2.1.4.3

$10$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$30 x + 10 + \frac{d}{d x} [- 15]$

단계 2.1.5

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1.5.1

$- 15$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 15$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 15$ 입니다.

$30 x + 10 + 0$

단계 2.1.5.2

$30 x + 10$ 를 $0$ 에 더합니다.

$30 x + 10$

단계 2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$6 \int e^{u} \frac{1}{10} d u$

단계 3

$e^{u}$ 와 $\frac{1}{10}$ 을 묶습니다.

$6 \int \frac{e^{u}}{10} d u$

단계 4

$\frac{1}{10}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{10}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$6 (\frac{1}{10} \int e^{u} d u)$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

$\frac{1}{10}$ 와 $6$ 을 묶습니다.

$\frac{6}{10} \int e^{u} d u$

단계 5.2

$6$ 및 $10$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (3)}{10} \int e^{u} d u$

단계 5.2.2

공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.2.1

$10$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 5} \int e^{u} d u$

단계 5.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 5} \int e^{u} d u$

단계 5.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3}{5} \int e^{u} d u$

단계 6

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$\frac{3}{5} (e^{u} + C)$

단계 7

간단히 합니다.

$\frac{3}{5} e^{u} + C$

단계 8

$u$ 를 모두 $15 x^{2} + 10 x - 15$ 로 바꿉니다.

$\frac{3}{5} e^{15 x^{2} + 10 x - 15} + C$