미적분 예제

$\int_{3}^{5} \frac{3 x + 5}{x^{2} + 2 x - 3} d x$

단계 1

부분 분수 분해를 사용하여 분수를 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

분수를 분해하고 전체 식에 공통분모를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

AC 방법을 이용하여 $x^{2} + 2 x - 3$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 3$ 이고 합은 $2$ 입니다.

$- 1, 3$

단계 1.1.1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$\frac{3 x + 5}{(x - 1) (x + 3)}$

단계 1.1.2

분모의 각 인수에 대해 분모에 인수를, 분자에 미지수를 갖는 새로운 분수를 만듭니다. 분모의 인수가 1차이므로 분자에 하나의 변수 $A$ 를 적습니다.

$\frac{A}{x - 1}$

단계 1.1.3

분모의 각 인수에 대해 분모에 인수를, 분자에 미지수를 갖는 새로운 분수를 만듭니다. 분모의 인수가 1차이므로 분자에 하나의 변수 $B$ 를 적습니다.

$\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 3}$

단계 1.1.4

방정식의 각 분수에 수식의 분모를 곱합니다. 이 경우 분모는 $(x - 1) (x + 3)$ 입니다.

$\frac{(3 x + 5) (x - 1) (x + 3)}{(x - 1) (x + 3)} = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

단계 1.1.5

$x - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{(3 x + 5) (x - 1) (x + 3)}{(x - 1) (x + 3)} = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

단계 1.1.5.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{(3 x + 5) (x + 3)}{x + 3} = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

단계 1.1.6

$x + 3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.6.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{(3 x + 5) (x + 3)}{x + 3} = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

단계 1.1.6.2

$3 x + 5$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$3 x + 5 = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

단계 1.1.7

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.7.1

$x - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.7.1.1

공약수로 약분합니다.

$3 x + 5 = \frac{A (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

단계 1.1.7.1.2

$(A) (x + 3)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$3 x + 5 = (A) (x + 3) + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

단계 1.1.7.2

분배 법칙을 적용합니다.

$3 x + 5 = A x + A \cdot 3 + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

단계 1.1.7.3

$A$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$3 x + 5 = A x + 3 \cdot A + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

단계 1.1.7.4

$x + 3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.7.4.1

공약수로 약분합니다.

$3 x + 5 = A x + 3 A + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

단계 1.1.7.4.2

$(B) (x - 1)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$3 x + 5 = A x + 3 A + (B) (x - 1)$

단계 1.1.7.5

분배 법칙을 적용합니다.

$3 x + 5 = A x + 3 A + B x + B \cdot - 1$

단계 1.1.7.6

$B$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$3 x + 5 = A x + 3 A + B x - 1 \cdot B$

단계 1.1.7.7

$- 1 B$ 을 $- B$ 로 바꿔 씁니다.

$3 x + 5 = A x + 3 A + B x - B$

단계 1.1.8

$3 A$ 를 옮깁니다.

$3 x + 5 = A x + B x + 3 A - B$

단계 1.2

부분분수 변수에 대한 방정식을 세우고 이를 사용하여 연립방정식을 세웁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

방정식의 각 변의 $x$ 의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$3 = A + B$

단계 1.2.2

$x$ 를 포함하지 않는 항의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$5 = 3 A - 1 B$

단계 1.2.3

부분분수의 계수를 구하는 연립방정식을 세웁니다.

$3 = A + B$

$5 = 3 A - 1 B$

$3 = A + B$

$5 = 3 A - 1 B$

단계 1.3

연립방정식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$3 = A + B$ 의 $A$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1.1

$A + B = 3$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$A + B = 3$

$5 = 3 A - 1 B$

단계 1.3.1.2

방정식의 양변에서 $B$ 를 뺍니다.

$A = 3 - B$

$5 = 3 A - 1 B$

$A = 3 - B$

$5 = 3 A - 1 B$

단계 1.3.2

각 방정식에서 $A$ 를 모두 $3 - B$ 로 바꿉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.1

$5 = 3 A - 1 B$ 의 $A$ 를 모두 $3 - B$ 로 바꿉니다.

$5 = 3 (3 - B) - 1 B$

$A = 3 - B$

단계 1.3.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.2.1

$3 (3 - B) - 1 B$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.2.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.2.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$5 = 3 \cdot 3 + 3 (- B) - 1 B$

$A = 3 - B$

단계 1.3.2.2.1.1.2

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$5 = 9 + 3 (- B) - 1 B$

$A = 3 - B$

단계 1.3.2.2.1.1.3

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$5 = 9 - 3 B - 1 B$

$A = 3 - B$

단계 1.3.2.2.1.1.4

$- 1 B$ 을 $- B$ 로 바꿔 씁니다.

$5 = 9 - 3 B - B$

$A = 3 - B$

$5 = 9 - 3 B - B$

$A = 3 - B$

단계 1.3.2.2.1.2

$- 3 B$ 에서 $B$ 을 뺍니다.

$5 = 9 - 4 B$

$A = 3 - B$

$5 = 9 - 4 B$

$A = 3 - B$

$5 = 9 - 4 B$

$A = 3 - B$

$5 = 9 - 4 B$

$A = 3 - B$

단계 1.3.3

$5 = 9 - 4 B$ 의 $B$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.1

$9 - 4 B = 5$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$9 - 4 B = 5$

$A = 3 - B$

단계 1.3.3.2

$B$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.2.1

방정식의 양변에서 $9$ 를 뺍니다.

$- 4 B = 5 - 9$

$A = 3 - B$

단계 1.3.3.2.2

$5$ 에서 $9$ 을 뺍니다.

$- 4 B = - 4$

$A = 3 - B$

$- 4 B = - 4$

$A = 3 - B$

단계 1.3.3.3

$- 4 B = - 4$ 의 각 항을 $- 4$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.3.1

$- 4 B = - 4$ 의 각 항을 $- 4$ 로 나눕니다.

$\frac{- 4 B}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

$A = 3 - B$

단계 1.3.3.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.3.2.1

$- 4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 4 B}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

$A = 3 - B$

단계 1.3.3.3.2.1.2

$B$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$B = \frac{- 4}{- 4}$

$A = 3 - B$

$B = \frac{- 4}{- 4}$

$A = 3 - B$

$B = \frac{- 4}{- 4}$

$A = 3 - B$

단계 1.3.3.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.3.3.1

$- 4$ 을 $- 4$ 로 나눕니다.

$B = 1$

$A = 3 - B$

$B = 1$

$A = 3 - B$

$B = 1$

$A = 3 - B$

$B = 1$

$A = 3 - B$

단계 1.3.4

각 방정식에서 $B$ 를 모두 $1$ 로 바꿉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.4.1

$A = 3 - B$ 의 $B$ 를 모두 $1$ 로 바꿉니다.

$A = 3 - (1)$

$B = 1$

단계 1.3.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.4.2.1

$3 - (1)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.4.2.1.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$A = 3 - 1$

$B = 1$

단계 1.3.4.2.1.2

$3$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$A = 2$

$B = 1$

$A = 2$

$B = 1$

$A = 2$

$B = 1$

$A = 2$

$B = 1$

단계 1.3.5

모든 해를 나열합니다.

$A = 2, B = 1$

단계 1.4

$A$ , $B$ 에 대해 구한 값을 $\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 3}$ 의 각 부분 분수 계수에 대입합니다.

$\frac{2}{x - 1} + \frac{1}{x + 3}$

단계 1.5

수식에서 0을 제거합니다.

$\int_{3}^{5} \frac{2}{x - 1} + \frac{1}{x + 3} d x$

단계 2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{3}^{5} \frac{2}{x - 1} d x + \int_{3}^{5} \frac{1}{x + 3} d x$

단계 3

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 \int_{3}^{5} \frac{1}{x - 1} d x + \int_{3}^{5} \frac{1}{x + 3} d x$

단계 4

먼저 $u_{1} = x - 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$u_{1} = x - 1$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$x - 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

단계 4.1.2

합의 법칙에 의해 $x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 4.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 4.1.4

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$1 + 0$

단계 4.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 4.2

$u_{1} = x - 1$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 3 - 1$

단계 4.3

$3$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$u_{lower} = 2$

단계 4.4

$u_{1} = x - 1$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 5 - 1$

단계 4.5

$5$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$u_{upper} = 4$

단계 4.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 4$

단계 4.7

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$2 \int_{2}^{4} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{3}^{5} \frac{1}{x + 3} d x$

단계 5

$\frac{1}{u_{1}}$ 를 $u_{1}$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u_{1} |)$ 입니다.

$2 (\ln (| u_{1} |)]_{2}^{4}) + \int_{3}^{5} \frac{1}{x + 3} d x$

단계 6

먼저 $u_{2} = x + 3$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$u_{2} = x + 3$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

$x + 3$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

단계 6.1.2

합의 법칙에 의해 $x + 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

단계 6.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

단계 6.1.4

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$1 + 0$

단계 6.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 6.2

$u_{2} = x + 3$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 3 + 3$

단계 6.3

$3$ 를 $3$ 에 더합니다.

$u_{lower} = 6$

단계 6.4

$u_{2} = x + 3$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 5 + 3$

단계 6.5

$5$ 를 $3$ 에 더합니다.

$u_{upper} = 8$

단계 6.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 6$

$u_{upper} = 8$

단계 6.7

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$2 (\ln (| u_{1} |)]_{2}^{4}) + \int_{6}^{8} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

단계 7

$\frac{1}{u_{2}}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u_{2} |)$ 입니다.

$2 (\ln (| u_{1} |)]_{2}^{4}) + \ln (| u_{2} |)]_{6}^{8}$

단계 8

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$4$ , $2$ 일 때, $\ln (| u_{1} |)$ 값을 계산합니다.

$2 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |)) + \ln (| u_{2} |)]_{6}^{8}$

단계 8.2

$8$ , $6$ 일 때, $\ln (| u_{2} |)$ 값을 계산합니다.

$2 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |)) + (\ln (| 8 |)) - \ln (| 6 |)$

단계 8.3

불필요한 괄호를 제거합니다.

$2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 2 |)) + \ln (| 8 |) - \ln (| 6 |)$

단계 9

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$2 \ln (\frac{| 4 |}{| 2 |}) + \ln (| 8 |) - \ln (| 6 |)$

단계 9.2

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$2 \ln (\frac{| 4 |}{| 2 |}) + \ln (\frac{| 8 |}{| 6 |})$

단계 10

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $4$ 사이의 거리는 $4$ 입니다.

$2 \ln (\frac{4}{| 2 |}) + \ln (\frac{| 8 |}{| 6 |})$

단계 10.2

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $2$ 사이의 거리는 $2$ 입니다.

$2 \ln (\frac{4}{2}) + \ln (\frac{| 8 |}{| 6 |})$

단계 10.3

$4$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$2 \ln (2) + \ln (\frac{| 8 |}{| 6 |})$

단계 10.4

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $8$ 사이의 거리는 $8$ 입니다.

$2 \ln (2) + \ln (\frac{8}{| 6 |})$

단계 10.5

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $6$ 사이의 거리는 $6$ 입니다.

$2 \ln (2) + \ln (\frac{8}{6})$

단계 10.6

$8$ 및 $6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.6.1

$8$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 \ln (2) + \ln (\frac{2 (4)}{6})$

단계 10.6.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.6.2.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 \ln (2) + \ln (\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3})$

단계 10.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$2 \ln (2) + \ln (\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3})$

단계 10.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$2 \ln (2) + \ln (\frac{4}{3})$

단계 11

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$2 \ln (2) + \ln (\frac{4}{3})$

소수 형태:

$1.67397643 \dots$

단계 12