미적분 예제

$\frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

단계 1

$\frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

단계 2

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 3

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

단계 4

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 일 때 $x = \sin (t)$ 라고 하면 $d x = \cos (t) d t$ 입니다. $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 이므로 $\cos (t)$ 는 양수입니다.

$\int \frac{\sin^{2} (t)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

단계 5

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\int \frac{\sin^{2} (t)}{\sqrt{\cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

단계 5.1.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\int \frac{\sin^{2} (t)}{\cos (t)} \cos (t) d t$

단계 5.2

$\cos (t)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

공약수로 약분합니다.

$\int \frac{\sin^{2} (t)}{\cos (t)} \cos (t) d t$

단계 5.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\int \sin^{2} (t) d t$

단계 6

반각 공식을 이용해 $\sin^{2} (t)$ 를 $\frac{1 - \cos (2 t)}{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1 - \cos (2 t)}{2} d t$

단계 7

$\frac{1}{2}$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 t) d t$

단계 8

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{1}{2} (\int d t + \int - \cos (2 t) d t)$

단계 9

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} (t + C + \int - \cos (2 t) d t)$

단계 10

$- 1$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} (t + C - \int \cos (2 t) d t)$

단계 11

먼저 $u = 2 t$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 d t$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$u = 2 t$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d t}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1.1

$2 t$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [2 t]$

단계 11.1.2

$2$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $2 t$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d t} [t]$

단계 11.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 11.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 11.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} (t + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

단계 12

$\cos (u)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} (t + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

단계 13

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} (t + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

단계 14

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\sin (u)$ 입니다.

$\frac{1}{2} (t + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

단계 15

간단히 합니다.

$\frac{1}{2} (t - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

단계 16

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.1

$t$ 를 모두 $\arcsin (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

단계 16.2

$u$ 를 모두 $2 t$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) - \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

단계 16.3

$t$ 를 모두 $\arcsin (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) - \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (x))) + C$

단계 17

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.1

$\sin (2 \arcsin (x))$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) - \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}) + C$

단계 17.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} \arcsin (x) + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}) + C$

단계 17.3

$\frac{1}{2}$ 와 $\arcsin (x)$ 을 묶습니다.

$\frac{\arcsin (x)}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}) + C$

단계 17.4

$\frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.4.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{\arcsin (x)}{2} - \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2 \cdot 2} + C$

단계 17.4.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{\arcsin (x)}{2} - \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{4} + C$

단계 18

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{2} \arcsin (x) - \frac{1}{4} \sin (2 \arcsin (x)) + C$

단계 19

답은 함수 $f (x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $\frac{1}{2} \arcsin (x) - \frac{1}{4} \sin (2 \arcsin (x)) + C$